18-\int\left(2 x+\frac{3}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o integral indefinido
\int\!\Bigl(2x + \frac{3}{x}\Bigr)\,dx.
Para resolver, vamos usar a propriedade de linearidade da integral e as antiderivadas conhecidas de x^n e de 1/x.

Passo 2

Aplicando a linearidade:
\int\!\Bigl(2x + \frac{3}{x}\Bigr)\,dx = \int 2x\,dx \;+\;\int \frac{3}{x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2x\,dx, use a regra de potência \int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=1 e há fator 2:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx, coloque o 3 em evidência e use \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert:
\int \frac{3}{x}\,dx = 3\int \frac{1}{x}\,dx = 3\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C:
\int\!\Bigl(2x + \frac{3}{x}\Bigr)\,dx = x^2 + 3\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

x^2 + 3\ln\lvert x\rvert + C

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