Quando 20,9 \mathrm{~J} foram adicionados como calor a um certo gás ideal, o volume do gás variou de 50 \mathrm{~cm}^{3} para 100 \mathrm{~cm}^{3}, enquanto a pressão permaneceu em 1 atm . (a) De quanto variou a energia interna do gás? Se a quantidade de gás presente era de 2 \times 10^{-3} \mathrm{~mol}, determine (b) C_{p} e (c) C_{V}.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (vou listar exatamente o que sabemos e o que nos pedem):
  • Foi adicionada como calor a um gás a quantidade Q = 20,9\\ \mathrm{J}.
  • O processo foi isobárico (a pressão permaneceu constante): p = 1\\ \mathrm{atm}.
  • O volume variou de V_i = 50\\ \mathrm{cm}^3 para V_f = 100\\ \mathrm{cm}^3.
  • A quantidade de gás é n = 2\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • Perguntas:
    (a) Qual foi a variação da energia interna \Delta U do gás?
    (b) Determinar o calor molar a pressão constante C_{p} (molar).
    (c) Determinar o calor molar a volume constante C_{V} (molar).
Observações de unidades que vamos usar: precisamos trabalhar no SI para trabalho e energia, então converterei volumes para \mathrm{m}^3 e pressão para pascal. Vou usar a constante dos gases R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}. Não começo a resolver ainda — só organizei os dados.

Passo 2

Converter unidades e calcular a variação de volume \Delta V.
  • Converter volumes de \mathrm{cm}^3 para \mathrm{m}^3: 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
  • Então
V_i = 50\\ \mathrm{cm}^3 = 50\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 5,0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3,
V_f = 100\\ \mathrm{cm}^3 = 100\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 1,0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • A variação de volume é
\Delta V = V_f - V_i = 5,0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pelo gás no processo isobárico.
Conceito rápido: em um processo a pressão constante, o trabalho realizado pelo gás sobre o meio é
W = p\,\Delta V,
onde p é a pressão (em pascal) e \Delta V a variação de volume (em \mathrm{m}^3). Aqui 1\\ \mathrm{atm} = 1,013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Então
p = 1,013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo:
W = (1,013\times 10^{5})\cdot(5,0\times 10^{-5})\\ \mathrm{J}.
Calcule:
W = 5,065\\ \mathrm{J}\approx 5,07\\ \mathrm{J}.
Interpretação: esse é o trabalho que o gás fez ao expandir.

Passo 4

Aplicar a primeira lei da termodinâmica para achar \Delta U.
A primeira lei (energia interna) diz:
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor fornecido ao sistema e W o trabalho realizado pelo sistema. Aqui Q = 20,9\\ \mathrm{J} e W \approx 5,065\\ \mathrm{J}. Portanto
\Delta U = 20,9 - 5,065\\ \mathrm{J} = 15,835\\ \mathrm{J}\approx 15,8\\ \mathrm{J}.
Explicação física breve: parte do calor entrou como trabalho de expansão e o restante aumentou a energia interna (energia térmica) do gás.

Passo 5

Encontrar a variação de temperatura \Delta T usando a equação de gás ideal.
Para um gás ideal temos pV = nRT. Como o processo é isobárico ( p constante), uma variação pequena dá
p\,\Delta V = nR\,\Delta T.
Isolando \Delta T:
\Delta T = \frac{p\,\Delta V}{nR}.
Já temos p\,\Delta V = W = 5,065\\ \mathrm{J}. Calcule o denominador: nR = (2{,}0\times 10^{-3})\cdot(8{,}314)\\ \mathrm{J/K} = 0{,}016628\\ \mathrm{J/K}. Então
\Delta T = \frac{5,065}{0{,}016628}\\ \mathrm{K} \approx 304{,}6\\ \mathrm{K}.
Comentário: o \Delta T saiu grande porque a quantidade de gás n é muito pequena.

Passo 6

Determinar C_{p} (calor molar a pressão constante).
Definição prática usada aqui: em um processo isobárico o calor trocado é Q = n\,C_{p}\,\Delta T, onde C_{p} é o calor molar a pressão constante (unidade \mathrm{J/(mol\,K)}). Isolando C_{p}:
C_{p} = \frac{Q}{n\,\Delta T}.
Substituindo Q = 20{,}9\\ \mathrm{J}, n = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol} e \Delta T \approx 304{,}6\\ \mathrm{K}:
C_{p} = \frac{20{,}9}{(2{,}0\times 10^{-3})\cdot 304{,}6}\\ \mathrm{\frac{J}{mol\,K}} \approx 34{,}3\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Interpretação: cada mol do gás, a pressão constante, requer aproximadamente 34{,}3\\ \mathrm{J} para aumentar 1 kelvin.

Passo 7

Determinar C_{V} (calor molar a volume constante) e checar consistência.
Duas rotas equivalentes (vou usar ambas para reforçar o entendimento):
  1. Relação molar conhecida para gás ideal:
C_{p} - C_{V} = R.
Assim
C_{V} = C_{p} - R \approx 34{,}3 - 8{,}314 = 25{,}99\\ \mathrm{J/(mol\,K)}\approx 26{,}0\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
  1. Usando \Delta U = n\,C_{V}\,\Delta T (porque variação da energia interna de um gás ideal depende só da temperatura):
C_{V} = \frac{\Delta U}{n\,\Delta T} = \frac{15{,}835}{(2{,}0\times 10^{-3})\cdot 304{,}6}\\ \mathrm{\frac{J}{mol\,K}} \approx 25{,}99\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
As duas rotas dão o mesmo valor dentro do arredondamento — bom sinal de consistência.

Passo 8

Breve incentivo e checagem final: fizemos passo a passo — converti unidades, calculei trabalho, usei a primeira lei, obtive \Delta T com a equação de estado, e daí extraí C_{p} e C_{V}. Pode parecer muita conta, mas é padrão em provas: identificar processo, aplicar W=p\Delta V, primeiro princípio, e relação pV=nRT. Você conseguiu acompanhar — tá indo bem!

Resposta

(a) \Delta U = 15{,}8\\ \mathrm{J}
(b) C_{p} = 34{,}3\\ \mathrm{J/(mol\,K)}
(c) C_{V} = 26{,}0\\ \mathrm{J/(mol\,K)}

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