Um certo gás ocupa um volume de 4,3 L a uma pressão de 1,2 \mathrm{~atm} e uma temperatura de 310 K . Ele é comprimido adiabaticamente para um volume de 0,76 L. Determine (a) a pressão final e (b) a temperatura final, supondo que o gás é ideal e que \gamma=1,4.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
P_i = 1,2\\ \mathrm{atm}
V_i = 4,3\\ \mathrm{L}
T_i = 310\\ \mathrm{K}
V_f = 0,76\\ \mathrm{L}
\gamma = 1,4
O processo é adiabático e o gás é ideal.
Perguntas:
(a) Determinar a pressão final P_f.
(b) Determinar a temperatura final T_f.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para a pressão final.
Para uma compressão adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Aqui \gamma é a razão dos calores específicos (dado no enunciado). Isso significa que
P_i V_i^{\gamma} = P_f V_f^{\gamma}.
Isolando P_f obtemos a fórmula prática:
P_f = P_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}.
Explicando as variáveis: P_i e V_i são pressão e volume iniciais, P_f e V_f são pressão e volume finais, e \gamma é o expoente adiabático.

Passo 3

Cálculo numérico da pressão final.
Primeiro calculo a razão de volumes:
\frac{V_i}{V_f} = \frac{4,3}{0,76} = \frac{430}{76} = \frac{215}{38} \approx 5,6578947.
Agora elevo essa razão a \gamma=1,4. Para fazer isso de forma didática uso logaritmos naturais:
\ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right)\approx \ln(5,6578947)\approx 1,7329.
Multiplico pelo expoente:
1,4\cdot \ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right)\approx 1,4\cdot 1,7329 \approx 2,4261.
Volto da forma exponencial:
\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{1,4} = e^{2,4261}\approx 11,316.
Finalmente:
P_f = 1,2\cdot 11,316 \approx 13,579\\ \mathrm{atm}.
Arredondando com precisão razoável (duas casas significativas além da entrada), tomo
P_f \approx 13,6\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Derivação da fórmula para a temperatura final (explicando a física por trás).
Usando a equação dos gases ideais \,PV=nRT, e a condição adiabática PV^{\gamma}= constante, podemos combinar as duas para eliminar P:
PV = nRT \quad\Rightarrow\quad T = \frac{PV}{nR}.
Como P V^{\gamma}= constante, dividindo por V obtemos P V^{\gamma-1}= constante. Assim T V^{\gamma-1}= constante (já que T é proporcional a PV). Logo vale a relação
T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}.
Isolando T_f:
T_f = T_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Aqui \gamma-1 é simplesmente a diferença entre o expoente adiabático e 1; todas as variáveis já foram definidas antes.

Passo 5

Cálculo numérico da temperatura final.
Temos \gamma-1 = 1,4-1 = 0,4. Usando a razão de volumes calculada antes \frac{V_i}{V_f}\approx 5,6578947, faço
\ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right)\approx 1,7329
e
0,4\cdot \ln\!\left(\frac{V_i}{V_f}\right)\approx 0,4\cdot 1,7329 \approx 0,69316.
Volto da forma exponencial:
\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{0,4} = e^{0,69316}\approx 2,000.
Portanto
T_f = 310\cdot 2,000 \approx 620\\ \mathrm{K}.
(Nota: o valor ficou muito próximo de 620 K porque a razão de volumes escolhida é quase exatamente 2^{2,5}, mas o procedimento mostrado é geral.)

Passo 6

Cheque rápido de coerência e incentivo.
Ao comprimir adiabaticamente esperamos que tanto a pressão quanto a temperatura aumentem — e foi exatamente isso que obtivemos ( P_f bem maior que P_i e T_f maior que T_i). Bom trabalho! Respira fundo: com esses passos você resolve qualquer problema de compressão adiabática de gás ideal.

Resposta

(a) P_f \approx 13,6\\ \mathrm{atm}
(b) T_f \approx 620\\ \mathrm{K}

Exercícios relacionados