Um certo gás ocupa um volume de
a uma pressão de
e uma temperatura de 310 K . Ele é comprimido adiabaticamente para um volume de
. Determine (a) a pressão final e (b) a temperatura final, supondo que o gás é ideal e que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
O processo é adiabático e o gás é ideal.
Perguntas:
(a) Determinar a pressão final .
(b) Determinar a temperatura final .
(a) Determinar a pressão final
(b) Determinar a temperatura final
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para a pressão final.
Para uma compressão adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
Aqui
é a razão dos calores específicos (dado no enunciado). Isso significa que
Isolando
obtemos a fórmula prática:
Explicando as variáveis:
e
são pressão e volume iniciais,
e
são pressão e volume finais, e
é o expoente adiabático.
Passo 3
Cálculo numérico da pressão final.
Primeiro calculo a razão de volumes:
Agora elevo essa razão a
. Para fazer isso de forma didática uso logaritmos naturais:
Multiplico pelo expoente:
Volto da forma exponencial:
Finalmente:
Arredondando com precisão razoável (duas casas significativas além da entrada), tomo
Passo 4
Derivação da fórmula para a temperatura final (explicando a física por trás).
Usando a equação dos gases ideais
, e a condição adiabática
constante, podemos combinar as duas para eliminar
:
Como
constante, dividindo por
obtemos
constante. Assim
constante (já que
é proporcional a
). Logo vale a relação
Isolando
:
Aqui
é simplesmente a diferença entre o expoente adiabático e 1; todas as variáveis já foram definidas antes.
Passo 5
Cálculo numérico da temperatura final.
Temos
. Usando a razão de volumes calculada antes
, faço
e
Volto da forma exponencial:
Portanto
(Nota: o valor ficou muito próximo de
K porque a razão de volumes escolhida é quase exatamente
, mas o procedimento mostrado é geral.)
Passo 6
Cheque rápido de coerência e incentivo.
Ao comprimir adiabaticamente esperamos que tanto a pressão quanto a temperatura aumentem — e foi exatamente isso que obtivemos (
bem maior que
e
maior que
). Bom trabalho! Respira fundo: com esses passos você resolve qualquer problema de compressão adiabática de gás ideal.
Resposta
(a)
(b)
(b)