A temperatura de 2 mols de um gás ideal monoatômico é aumentada de 15 K a volume constante. Quais são (a) o trabalho W realizado pelo gás. (b) a energia transferida como calor Q , (c) a variação \Delta E_{\text {in }} da energia interna do gás e (d) a variação \Delta K da energia cinética média por átomo?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para um gás ideal monoatômico quando a temperatura é aumentada a volume constante:
(a) o trabalho W realizado pelo gás,
(b) a energia transferida como calor Q,
(c) a variação \Delta E_{\text{in}} da energia interna do gás,
(d) a variação \Delta K da energia cinética média por átomo.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • número de mols: n=2.
  • variação de temperatura: \Delta T=15\\ \mathrm{K} (o enunciado diz “aumentada de 15\\ \mathrm{K}”, interpretei como \Delta T=15\\ \mathrm{K}).
  • processo: volume constante (ou seja, V= constante).
  • gás: ideal monoatômico.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o trabalho W. Lembrete físico e fórmula:
A definição do trabalho feito pelo gás numa transformação é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Se o volume é constante, então dV=0 durante todo o processo, portanto o integral vale zero. Conclusão direta:
W=0.
Explicando em palavras: quando o volume não muda o gás não desloca a fronteira, logo ele não realiza trabalho de expansão.

Passo 3

Agora a relação entre calor, trabalho e energia interna (Primeira Lei da Termodinâmica).
A forma que usamos é
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema, Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema (sinal positivo quando o sistema realiza trabalho). Como já achamos que W=0, segue que
\Delta U = Q.
Isto significa que todo o calor fornecido aumenta a energia interna quando o volume é fixo.

Passo 4

Fórmula para a energia interna de um gás ideal monoatômico e sua variação:
Para um gás ideal monoatômico a energia interna total é dada por
U=\frac{3}{2}nRT,
onde n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta. A constante 3/2 vem do fato de que um átomo monoatômico tem três graus de liberdade transacionais e cada grau contribui com \tfrac{1}{2}k_B T por partícula ou \tfrac{1}{2}RT por mol.
Assim a variação da energia interna ao mudar a temperatura é
\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T.
E como \Delta U=Q (do passo anterior), também temos
Q=\frac{3}{2}nR\Delta T.

Passo 5

Cálculo numérico de Q (e \Delta U, que será igual a Q).
Usarei a constante R\approx 8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Substituindo n=2 e \Delta T=15\\ \mathrm{K}:
Q=\frac{3}{2}\cdot 2\cdot 8,314\cdot 15.
Faço as contas passo a passo:
\frac{3}{2}\cdot 2 = 3,
3\cdot 8,314 = 24,942,
24,942\cdot 15 = 374,13\\ \mathrm{J}.
(Usando mais casas decimais de R daria Q\approx 374,15\\ \mathrm{J}. Podemos arredondar para duas casas decimais se desejar.) Portanto
Q\approx 374,1\\ \mathrm{J},
e como \Delta U=Q,
\Delta E_{\text{in}}=\Delta U\approx 374,1\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora a variação da energia cinética média por átomo \Delta K.
Para um átomo monoatômico num gás ideal a energia cinética média (por átomo) é
\langle K\rangle = \frac{3}{2}k_B T,
onde k_B é a constante de Boltzmann. Isso vem diretamente da equipartição de energia (cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_B T). Logo a variação por átomo é
\Delta K = \frac{3}{2}k_B\Delta T.

Passo 7

Cálculo numérico de \Delta K.
Usamos k_B=1,380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}} e \Delta T=15\\ \mathrm{K}:
\Delta K = \frac{3}{2}\cdot 1,380649\times 10^{-23}\cdot 15.
Faço a multiplicação:
\frac{3}{2}\cdot 15 = 22{,}5,
22{,}5\cdot 1,380649\times 10^{-23} \approx 3{,}10646\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}.
Arredondando a duas casas significativas relevantes:
\Delta K \approx 3{,}11\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}\\ \text{por átomo}.á

Resposta

(a) W=0\\ \mathrm{J}
(b) Q\approx 374{,}1\\ \mathrm{J}
(c) \Delta E_{\text{in}}=\Delta U\approx 374{,}1\\ \mathrm{J}
(d) \Delta K\approx 3{,}11\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}

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