A temperatura de 2 mols de um gás ideal monoatômico é aumentada de 15 K a volume constante. Quais são (a) o trabalho
realizado pelo gás. (b) a energia transferida como calor Q , (c) a variação
da energia interna do gás e (d) a variação
da energia cinética média por átomo?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para um gás ideal monoatômico quando a temperatura é aumentada a volume constante:
(a) o trabalho realizado pelo gás,
(b) a energia transferida como calor ,
(c) a variação da energia interna do gás,
(d) a variação da energia cinética média por átomo.
(a) o trabalho
(b) a energia transferida como calor
(c) a variação
(d) a variação
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- número de mols:
. - variação de temperatura:
(o enunciado diz “aumentada de ”, interpretei como ). - processo: volume constante (ou seja,
constante). - gás: ideal monoatômico.
Passo 2
Vamos calcular primeiro o trabalho
. Lembrete físico e fórmula:
A definição do trabalho feito pelo gás numa transformação é
A definição do trabalho feito pelo gás numa transformação é
Se o volume é constante, então
durante todo o processo, portanto o integral vale zero. Conclusão direta:
Explicando em palavras: quando o volume não muda o gás não desloca a fronteira, logo ele não realiza trabalho de expansão.
Passo 3
Agora a relação entre calor, trabalho e energia interna (Primeira Lei da Termodinâmica).
A forma que usamos é
A forma que usamos é
onde
é a variação da energia interna do sistema,
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema (sinal positivo quando o sistema realiza trabalho). Como já achamos que
, segue que
Isto significa que todo o calor fornecido aumenta a energia interna quando o volume é fixo.
Passo 4
Fórmula para a energia interna de um gás ideal monoatômico e sua variação:
Para um gás ideal monoatômico a energia interna total é dada por
Para um gás ideal monoatômico a energia interna total é dada por
onde
é o número de mols,
é a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta. A constante
vem do fato de que um átomo monoatômico tem três graus de liberdade transacionais e cada grau contribui com
por partícula ou
por mol.
Assim a variação da energia interna ao mudar a temperatura é
E como
(do passo anterior), também temos
Passo 5
Cálculo numérico de
(e
, que será igual a
).
Usarei a constante .
Substituindo e
:
Usarei a constante
Substituindo
Faço as contas passo a passo:
(Usando mais casas decimais de
daria
. Podemos arredondar para duas casas decimais se desejar.) Portanto
e como
,
Passo 6
Agora a variação da energia cinética média por átomo
.
Para um átomo monoatômico num gás ideal a energia cinética média (por átomo) é
Para um átomo monoatômico num gás ideal a energia cinética média (por átomo) é
onde
é a constante de Boltzmann. Isso vem diretamente da equipartição de energia (cada grau de liberdade contribui com
). Logo a variação por átomo é
Passo 7
Cálculo numérico de
.
Usamos e
:
Usamos
Faço a multiplicação:
Arredondando a duas casas significativas relevantes:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)