Um recipiente contém uma mistura de três gases não reagenes; 2,4 \mathrm{~mol} do gás 1 \operatorname{com} C_{V 1}=12 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} . \mathrm{K}}, 1,5 \mathrm{~mol} do gás 2 \operatorname{com} C_{V 2}=12,8 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} . \mathrm{K}} e 3,2 \mathrm{~mol} do gás 3 \operatorname{com} C_{V 3}=20 \frac{J}{m o l . K}. Qual é o C_{V} da mistura?

Passo 1

O enunciado nos dá uma mistura de três gases não reagentes e pede o C_{V} da mistura. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
n_1=2{,}4\\ \text{mol},\quad C_{V1}=12\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
n_2=1{,}5\\ \text{mol},\quad C_{V2}=12{,}8\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
n_3=3{,}2\\ \text{mol},\quad C_{V3}=20\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
Pergunta: qual é o C_{V} da mistura? (Entenderemos aqui C_{V} como a capacidade térmica molar da mistura, ou seja, o C_{V} por mole de mistura.)

Passo 2

Conceito necessário (aula curta): o C_{V} molar de um gás ideal é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma mol de gás em 1\\ \mathrm{K} a volume constante. A unidade é \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Para uma mistura de gases não reagentes e que se comportam independentemente, a variação de calor total a volume constante, ao subir a temperatura em dT, é a soma das contribuições de cada componente:
dQ=\sum_{i} n_i C_{V i}\,dT.
Definindo n_\text{tot}=\sum_i n_i e C_{V,\text{mix}} tal que dQ = n_\text{tot} C_{V,\text{mix}}\,dT, obtemos a fórmula de média ponderada por número de mols:
C_{V,\text{mix}}=\frac{\sum_i n_i C_{V i}}{n_\text{tot}}.
Explicando as variáveis: n_i é o número de mols do i-ésimo gás, C_{V i} é o C_V molar desse gás, e n_\text{tot} é o número total de mols da mistura.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula: primeiro calcule o número total de mols:
n_\text{tot}=n_1+n_2+n_3=2{,}4+1{,}5+3{,}2.
Faço a soma passo a passo:
2{,}4+1{,}5=3{,}9,
3{,}9+3{,}2=7{,}1.
Portanto
n_\text{tot}=7{,}1\\ \text{mol}.

Passo 4

Agora calcule o somatório \sum_i n_i C_{V i}. Faço cada termo separadamente para ficar bem claro:
n_1 C_{V1}=2{,}4\times 12 = 28{,}8\\ \mathrm{J/K},
n_2 C_{V2}=1{,}5\times 12{,}8 = 19{,}2\\ \mathrm{J/K},
n_3 C_{V3}=3{,}2\times 20 = 64{,}0\\ \mathrm{J/K}.
Agora somo:
\sum_i n_i C_{V i}=28{,}8+19{,}2+64{,}0=112{,}0\\ \mathrm{J/K}.
Observação: as unidades ficam \mathrm{J/K} porque \mathrm{mol}\times\mathrm{J/(mol\cdot K)}=\mathrm{J/K}.

Passo 5

Finalmente aplico a fórmula da média ponderada:
C_{V,\text{mix}}=\frac{\sum_i n_i C_{V i}}{n_\text{tot}}=\frac{112{,}0}{7{,}1}\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Faço a divisão com cuidado (pode-se fazer na prova usando divisão longa ou aproximar):
\frac{112{,}0}{7{,}1}\approx 15{,}7746479\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
C_{V,\text{mix}}\approx 15{,}8\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma ideia, via frações molares): calcule as frações molares \,x_i=n_i/n_\text{tot}\, e faça C_{V,\text{mix}}=\sum_i x_i C_{V i}.
x_1=\frac{2{,}4}{7{,}1}\approx0{,}3380,\quad x_2\approx0{,}2113,\quad x_3\approx0{,}4507.
C_{V,\text{mix}}=0{,}3380\cdot 12 + 0{,}2113\cdot 12{,}8 + 0{,}4507\cdot 20 \approx 15{,}77\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

15{,}8\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}

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