20,0 \mathrm{~g} de gás \mathrm{O}_{2} ocupam inicialmente um volume de 18,0 litros. Em um processo isotérmico, um trabalho de 284 J é realizado sobre o gás e seu volume se reduz para 15.0 litros. Qual é a temperatura do gás?

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Massa do gás: 20{,}0\\ \mathrm{g} de \mathrm{O}_2.
  • Volume inicial: V_i = 18{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f = 15{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Processo: isotérmico (a temperatura é constante durante o processo).
  • Trabalho realizado sobre o gás: 284\\ \mathrm{J} (isto é, trabalho “feito sobre” o gás é positivo +284\\ \mathrm{J}).
  • O que se pede: determinar a temperatura do gás (valor de T).

Passo 2

Calcular a quantidade de mols n do \mathrm{O}_2.
Explicação rápida: para passar de massa para mols usa-se a massa molar. A massa molar do \mathrm{O}_2 é 32{,}00\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (cada átomo O tem \approx 16{,}00\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, e \mathrm{O}_2 tem dois átomos).
Fórmula e cálculo:
n=\frac{\text{massa}}{\text{massa molar}}=\frac{20{,}0\\ \mathrm{g}}{32{,}00\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}=0{,}625\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Lembrar a expressão do trabalho num processo isotérmico de gás ideal e a convenção de sinais.
A derivação curta (didática):
  • Para um gás ideal, a pressão em função do volume durante o isotérmico é P=\dfrac{nRT}{V}, onde:
    • P é a pressão,
    • n é o número de mols,
    • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta (em kelvin),
    • V é o volume.
  • O trabalho realizado pelo gás ao mudar de volume de V_i para V_f é
W_{\text{by}}=\int_{V_i}^{V_f}P\,dV=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Sobre sinais: W_{\text{by}} é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás empurra o ambiente). O enunciado diz que 284\\ \mathrm{J} foi realizado sobre o gás, ou seja, W_{\text{on}}=+284\\ \mathrm{J}. A relação entre esses sinais é
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}.
Portanto, usando a fórmula do trabalho isotérmico, temos a equação que vamos resolver para T:
W_{\text{on}} = -nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Isolando T:
T=\frac{W_{\text{on}}}{-nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)}.
Observação importante sobre unidades: na razão \dfrac{V_f}{V_i} as unidades cancelam, então não é necessário converter litros para metros cúbicos para avaliar o logaritmo. A constante R já está em \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, compatível com joules do trabalho.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Calcular a razão de volumes e seu logaritmo natural:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{15{,}0}{18{,}0}=0{,}833333\ldots
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(0{,}833333\ldots)\approx -0{,}1823216.
Calcular nR:
nR=0{,}625\times 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=5{,}19625\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Calcular o denominador -nR\ln(V_f/V_i):
-nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)= -5{,}19625\times(-0{,}1823216)=5{,}19625\times 0{,}1823216\approx 0{,}947396\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Finalmente calcular T:
T=\frac{W_{\text{on}}}{-nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)}=\frac{284\\ \mathrm{J}}{0{,}947396\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}}\approx 299{,}8\\ \mathrm{K}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (geralmente três algarismos significativos aqui), obtemos
T\approx 300\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e comentário motivador:
  • O valor encontrado ( 300\\ \mathrm{K}) é razoável (próximo de temperatura ambiente), o que dá confiança no cálculo.
  • Lembre-se: o passo crítico é entender a convenção de sinais (trabalho sobre o gás é positivo) e a fórmula do trabalho isotérmico obtida integrando P=nRT/V. Se na prova o enunciado dissesse “trabalho realizado pelo gás”, a equação usada seria com sinal trocado.

Resposta

300\\ \mathrm{K}

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