Exercício 3 Um carro de massa m viaja por uma estrada plana e horizontal. Ele entra em uma curva perfeitamente circular de raio R=80 \mathrm{~m}. O coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro e o asfalto é \mu_{e}=0,5. O atrito é a única força horizontal que atua no carro, atuando como a força centrípeta que o mantém na trajetória circular. Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Igualando a força de atrito estático máxima à força centrípeta ( F_{c}=m v^{2} / R ), deduza a expressão literal para a velocidade máxima v_{\text {max }} que o carro pode ter sem derrapar, em termos de \mu_{e}, g e R. Note que a massa m do carro deve se cancelar.
(b) Calcule o valor numérico dessa velocidade máxima v_{\text {max }}(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}).
(c) Suponha que o motorista decida fazer uma curva com uma velocidade maior, de v=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O que acontecerá com a trajetória do carro? Prove sua afirmação calculando qual deveria ser o novo raio da curva ( R^{\prime} ) para que ele conseguisse completá-la com essa nova velocidade em segurança.
(d) Considere que a massa do carro seja m=1000 \mathrm{~kg}. Para conseguir fazer a curva com a velocidade de v=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e no raio original de R=80 \mathrm{~m} sem derrapar, os engenheiros amarram o carro a um poste no centro da curva usando um cabo de aço horizontal ideal. Calcule a força de tensão T que esse cabo deverá suportar durante a curva.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (vou listar tudo que importa):\n
  • Um carro de massa m viaja numa estrada plana e entra numa curva circular de raio R=80\\ \mathrm{m}.\n
  • Coeficiente de atrito estático entre pneus e asfalto: \mu_{e}=0,5.\n
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • Em horizontal plano, a normal vale N=m g e o atrito estático máximo vale F_{\text{atrito, max}}=\mu_{e}N=\mu_{e} m g.\n
  • A única força horizontal que pode fornecer a força centrípeta é o atrito (nos itens (a)-(c)).\n
    O enunciado pede:\n
    (a) deduzir a expressão literal para a velocidade máxima v_{\text{max}} sem derrapar;\n
    (b) calcular numericamente v_{\text{max}} em \mathrm{m/s};\n
    (c) explicar o que ocorre se o motorista for com v=30\\ \mathrm{m/s} e calcular qual deveria ser o novo raio R' para que essa velocidade fosse segura;\n
    (d) para m=1000\\ \mathrm{kg}, supondo que amarram o carro a um cabo horizontal ao centro da curva, calcular a tensão T que o cabo deve suportar para permitir v=30\\ \mathrm{m/s} no raio original R=80\\ \mathrm{m}.\n

Passo 2

Conceitos físicos essenciais (aulas rápidas e úteis para a prova):\n
  • Força centrípeta necessária para um movimento circular uniforme: F_{c}=\frac{m v^{2}}{R}.\nAqui m é a massa do carro, v é a velocidade escalar e R é o raio da trajetória. Esta é a força resultante dirigida para o centro que causa a aceleração centrípeta a_{c}=v^{2}/R.\n
  • Atrito estático máximo entre pneus e chão (quando roda não desliza): F_{\text{atrito,max}}=\mu_{e}N.\nEm uma superfície horizontal sem inclinação, a normal N vale \,N=m g\,. Portanto F_{\text{atrito,max}}=\mu_{e} m g.\n
  • Para o carro não derrapar, a força centrípeta necessária não pode exceder a força de atrito estático máxima. Ou seja, condição de segurança: \frac{m v^{2}}{R}\le \mu_{e} m g.\n
Vou usar exatamente essa relação para deduzir v_{\text{max}}. Cada símbolo já foi explicado: \mu_{e} coeficiente de atrito estático, g gravidade, R raio, m massa (vai cancelar), v velocidade.

Passo 3

Deduziendo a expressão literal para v_{\text{max}}:\n
Partimos da igualdade limite entre força centrípeta e atrito estático máximo (caso de máxima velocidade antes de derrapar): \frac{m v_{\text{max}}^{2}}{R}=\mu_{e} m g.\n
Agora simplificamos: ambos os lados têm um fator m, que se cancela (por isso a massa do carro não entra na velocidade máxima): \frac{v_{\text{max}}^{2}}{R}=\mu_{e} g.\n
Isolando v_{\text{max}}^{2}: v_{\text{max}}^{2}=\mu_{e} g R.\n
Tirando a raiz positiva (a velocidade é positiva): v_{\text{max}}=\sqrt{\mu_{e} g R}.\n
Essa é a expressão literal pedida — observe que depende só de \mu_{e}, g e R.

Passo 4

Cálculo numérico de v_{\text{max}} usando \mu_{e}=0,5, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, R=80\\ \mathrm{m}:\n
Calcular o produto dentro da raiz: \mu_{e} g R = 0{,}5 \times 10 \times 80.\n
Fazendo a conta passo a passo: 0{,}5\times 10 = 5,\qquad 5\times 80 = 400.\n
Então v_{\text{max}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{m/s}.\n
(Dica prática: sempre que der um quadrado perfeito dentro da raiz fica rapidinho na prova.)\n

Passo 5

O que acontece se o motorista usar v=30\\ \mathrm{m/s} na mesma curva de R=80\\ \mathrm{m}?\n
  • Como v=30\\ \mathrm{m/s} é maior que v_{\text{max}}=20\\ \mathrm{m/s}, a força centrípeta necessária \dfrac{m v^{2}}{R} será maior que a força de atrito estático máxima \mu_{e} m g. Portanto o atrito por si só não consegue manter o carro na trajetória circular desejada: o carro vai derrapar (escorregar) para fora da curva — isto é, ele não conseguirá seguir uma curva tão apertada sem perder aderência.\n
Para quantificar: podemos calcular o raio R' que seria necessário para que, com v=30\\ \mathrm{m/s}, o atrito máximo fosse suficiente. Partimos da condição de segurança reescrita para radius:\n \frac{m v^{2}}{R'}=\mu_{e} m g \quad\Rightarrow\quad R'=\frac{v^{2}}{\mu_{e} g}.\n
Note que, de novo, m cancela. Substituindo números: R'=\frac{(30)^{2}}{0{,}5\times 10}=\frac{900}{5}=180\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: com v=30\\ \mathrm{m/s} é necessário um raio de curva R'\ge 180\\ \mathrm{m} para que o atrito estático máximo baste. Como o raio real R=80\\ \mathrm{m} é bem menor que 180\\ \mathrm{m}, o carro derrapará para fora se fizer a curva a 30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Situação com cabo de aço e cálculo da tensão T (item d).\n
Com um cabo amarrado ao centro da curva, duas forças dirigidas para o centro podem contribuir para a força centrípeta: a força de atrito (no máximo \mu_{e} m g) e a tensão T do cabo. Para que o carro faça a curva sem derrapar, a soma dessas forças direcionadas ao centro deve igualar a força centrípeta necessária:\n T + F_{\text{atrito}} = \frac{m v^{2}}{R}.\n
Para garantir segurança máxima (ou seja, projetar o cabo considerando o pior caso em que o atrito já está no máximo), podemos tomar F_{\text{atrito}}=F_{\text{atrito,max}}=\mu_{e} m g. Assim:\n T=\frac{m v^{2}}{R}-\mu_{e} m g.\n
Esta expressão faz sentido: a tensão precisa suprir a parte da força centrípeta que o atrito não consegue fornecer.\n
Agora calcular numericamente com m=1000\\ \mathrm{kg}, v=30\\ \mathrm{m/s}, R=80\\ \mathrm{m}, \mu_{e}=0{,}5, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:\n
Primeiro \dfrac{m v^{2}}{R}=\dfrac{1000\times 30^{2}}{80}=\dfrac{1000\times 900}{80}.\n
Calcule: 900/80=11{,}25, logo \dfrac{1000\times 900}{80}=1000\times 11{,}25=11250\\ \mathrm{N}.\n
Segundo \mu_{e} m g=0{,}5\times 1000\times 10=5000\\ \mathrm{N}.\n
Portanto T=11250-5000=6250\\ \mathrm{N}.\n
Conclusão: o cabo deve suportar uma tensão de 6250\\ \mathrm{N} durante a curva nessa condição.\n

Resposta

(a) v_{\text{max}}=\sqrt{\mu_{e}\,g\,R}\n
(b) v_{\text{max}}=20\\ \mathrm{m/s}\n
(c) R'=\dfrac{v^{2}}{\mu_{e} g}=180\\ \mathrm{m}\n
(d) T=6250\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados