Exercício 3 Um carro de massa
viaja por uma estrada plana e horizontal. Ele entra em uma curva perfeitamente circular de raio
. O coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro e o asfalto é
. O atrito é a única força horizontal que atua no carro, atuando como a força centrípeta que o mantém na trajetória circular. Considere
.
(a) Igualando a força de atrito estático máxima à força centrípeta (
), deduza a expressão literal para a velocidade máxima
que o carro pode ter sem derrapar, em termos de
e
. Note que a massa
do carro deve se cancelar.
(b) Calcule o valor numérico dessa velocidade máxima
.
(c) Suponha que o motorista decida fazer uma curva com uma velocidade maior, de
. O que acontecerá com a trajetória do carro? Prove sua afirmação calculando qual deveria ser o novo raio da curva (
) para que ele conseguisse completá-la com essa nova velocidade em segurança.
(d) Considere que a massa do carro seja
. Para conseguir fazer a curva com a velocidade de
e no raio original de
sem derrapar, os engenheiros amarram o carro a um poste no centro da curva usando um cabo de aço horizontal ideal. Calcule a força de tensão
que esse cabo deverá suportar durante a curva.
(a) Igualando a força de atrito estático máxima à força centrípeta (
(b) Calcule o valor numérico dessa velocidade máxima
(c) Suponha que o motorista decida fazer uma curva com uma velocidade maior, de
(d) Considere que a massa do carro seja
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (vou listar tudo que importa):\n
- Um carro de massa
viaja numa estrada plana e entra numa curva circular de raio .\n - Coeficiente de atrito estático entre pneus e asfalto:
.\n - Aceleração da gravidade:
.\n - Em horizontal plano, a normal vale
e o atrito estático máximo vale .\n - A única força horizontal que pode fornecer a força centrípeta é o atrito (nos itens (a)-(c)).\n
O enunciado pede:\n
(a) deduzir a expressão literal para a velocidade máximasem derrapar;\n
(b) calcular numericamenteem ;\n
(c) explicar o que ocorre se o motorista for come calcular qual deveria ser o novo raio para que essa velocidade fosse segura;\n
(d) para, supondo que amarram o carro a um cabo horizontal ao centro da curva, calcular a tensão que o cabo deve suportar para permitir no raio original .\n
Passo 2
Conceitos físicos essenciais (aulas rápidas e úteis para a prova):\n
- Força centrípeta necessária para um movimento circular uniforme:
\nAqui é a massa do carro, é a velocidade escalar e é o raio da trajetória. Esta é a força resultante dirigida para o centro que causa a aceleração centrípeta .\n - Atrito estático máximo entre pneus e chão (quando roda não desliza):
\nEm uma superfície horizontal sem inclinação, a normal vale . Portanto \n - Para o carro não derrapar, a força centrípeta necessária não pode exceder a força de atrito estático máxima. Ou seja, condição de segurança:
\n
Vou usar exatamente essa relação para deduzir
. Cada símbolo já foi explicado:
coeficiente de atrito estático,
gravidade,
raio,
massa (vai cancelar),
velocidade.
Passo 3
Deduziendo a expressão literal para
:\n
Partimos da igualdade limite entre força centrípeta e atrito estático máximo (caso de máxima velocidade antes de derrapar):
\n
Agora simplificamos: ambos os lados têm um fator
, que se cancela (por isso a massa do carro não entra na velocidade máxima):
\n
Isolando
:
\n
Tirando a raiz positiva (a velocidade é positiva):
\n
Essa é a expressão literal pedida — observe que depende só de
,
e
.
Passo 4
Cálculo numérico de
usando
,
,
:\n
Calcular o produto dentro da raiz:
\n
Fazendo a conta passo a passo:
\n
Então
\n
(Dica prática: sempre que der um quadrado perfeito dentro da raiz fica rapidinho na prova.)\n
Passo 5
O que acontece se o motorista usar
na mesma curva de
?\n
- Como
é maior que , a força centrípeta necessária será maior que a força de atrito estático máxima . Portanto o atrito por si só não consegue manter o carro na trajetória circular desejada: o carro vai derrapar (escorregar) para fora da curva — isto é, ele não conseguirá seguir uma curva tão apertada sem perder aderência.\n
Para quantificar: podemos calcular o raio
que seria necessário para que, com
, o atrito máximo fosse suficiente. Partimos da condição de segurança reescrita para radius:\n
\n
Note que, de novo,
cancela. Substituindo números:
\n
Interpretação: com
é necessário um raio de curva
para que o atrito estático máximo baste. Como o raio real
é bem menor que
, o carro derrapará para fora se fizer a curva a
.
Passo 6
Situação com cabo de aço e cálculo da tensão
(item d).\n
Com um cabo amarrado ao centro da curva, duas forças dirigidas para o centro podem contribuir para a força centrípeta: a força de atrito (no máximo
) e a tensão
do cabo. Para que o carro faça a curva sem derrapar, a soma dessas forças direcionadas ao centro deve igualar a força centrípeta necessária:\n
\n
Para garantir segurança máxima (ou seja, projetar o cabo considerando o pior caso em que o atrito já está no máximo), podemos tomar
. Assim:\n
\n
Esta expressão faz sentido: a tensão precisa suprir a parte da força centrípeta que o atrito não consegue fornecer.\n
Agora calcular numericamente com ,
,
,
,
:\n
Primeiro \n
Calcule: , logo
\n
Segundo \n
Agora calcular numericamente com
Primeiro
Calcule:
Segundo
Portanto
\n
Conclusão: o cabo deve suportar uma tensão de
durante a curva nessa condição.\n
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)