O calor latente de fusão da água (calor necessário para fundir o gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}, é 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Calcule aproximadamente a diferença entre as energias internas de 1,0 \mathrm{~kg} de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~kg} de vapor a 100^{\circ} \mathrm{C}, ambos à pressão atmosférica.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede a diferença entre as energias internas de 1,0 kg de gelo a 0^\circ\mathrm{C} e 1,0 kg de vapor a 100^\circ\mathrm{C}, ambos à pressão atmosférica. Ou seja, quer-se \Delta U = U_{\text{vapor, }100^\circ\mathrm{C}} - U_{\text{gelo, }0^\circ\mathrm{C}}.
  • Dados fornecidos e valores que vamos usar (pegos de valores típicos e bem conhecidos):
    • Massa: m=1{,}0\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
    • Calor latente de fusão (dado): L_f=80\\ \mathrm{cal/g}.
    • Calor específico da água líquida (valor padrão): c_{\ell}=1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}.
    • Calor latente de vaporização a 100^\circ\mathrm{C} (valor padrão aproximado): L_v\approx540\\ \mathrm{cal/g}.
    • Constante de conversão: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}.
    • Pressão atmosférica aproximada: P\approx1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Para estimar o termo P\Delta V usarei a lei dos gases ideais para o vapor e desprezarei o volume do gelo (muito pequeno).

Passo 2

Estratégia de cálculo (o que vamos somar): para transformar gelo a 0^\circ\mathrm{C} em vapor a 100^\circ\mathrm{C} passamos por três passos energéticos (por grama):
  1. Fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}: energia por grama =L_f.
  2. Aquecer a água líquida de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}: energia por grama =c_{\ell}\times(100-0)=100\,c_{\ell}.
  3. Vaporizar a 100^\circ\mathrm{C}: energia por grama =L_v.
Somando, o calor absorvido (por grama) é
q = L_f + c_{\ell}\cdot100 + L_v.
Multiplicando por m obtém-se o calor total Q em calorias. Este Q é praticamente igual à variação de entalpia \Delta H para um processo à pressão constante. A variação da energia interna \Delta U relaciona-se com \Delta H por
\Delta U = \Delta H - P\Delta V.
Portanto vamos calcular primeiro Q=\Delta H (convertido para joules) e depois estimar o termo P\Delta V para obter \Delta U. Também mostrarei o resultado ignorando P\Delta V (apróx. comum) e incluindo P\Delta V (um pouco mais preciso).

Passo 3

Calor total por grama em calorias:
q = 80 + 1{,}0\cdot100 + 540 = 80 + 100 + 540 = 720\\ \mathrm{cal/g}.
Para a massa m=1000\\ \mathrm{g},
Q = m\cdot q = 1000\cdot720 = 720000\\ \mathrm{cal}.
Converter para joules usando 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}:
Q = 720000\times4{,}186 = 3{,}013{,}920\\ \mathrm{J}\approx 3{,}01\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Esse Q é a variação de entalpia \Delta H entre gelo a 0^\circ\mathrm{C} e vapor a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Estimativa do termo P\Delta V. Aproximações:
  • Volume do gelo é desprezível comparado ao volume do vapor; então \Delta V\approx V_{\text{vapor}}.
  • Tratar o vapor como gás ideal à 100^\circ\mathrm{C}=373\\ \mathrm{K}.
Número de mols do vapor:
n=\frac{m}{M}=\frac{1000\\ \mathrm{g}}{18\\ \mathrm{g/mol}}=55{,}555\ldots\\ \mathrm{mol}.
Volume do vapor pela lei dos gases ideais:
V_{\text{vapor}}=\frac{nRT}{P}.
Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}, T=373\\ \mathrm{K}, P=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
nR \approx 55{,}5556\times8{,}314 \approx 461{,}89\\ \mathrm{J/K},
nRT \approx 461{,}89\times373 \approx 172{,}290\\ \mathrm{J},
V_{\text{vapor}}\approx\frac{172{,}290}{1{,}01\times10^{5}} \approx 1{,}705\\ \mathrm{m^{3}}.
Então
P\Delta V \approx P\,V_{\text{vapor}} \approx 1{,}01\times10^{5}\times1{,}705 \approx 1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Observação rápida: esse termo é significativo, mas é bem menor que Q (cerca de 5{,}7\% de Q).

Passo 5

Cálculo final de \Delta U:
  1. Aproximação simples (ignorar P\Delta V, i.e. usar só os calores):
\Delta U_{\text{(ignora }P\Delta V)} \approx Q \approx 3{,}013{,}920\\ \mathrm{J}\approx 3{,}01\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
  1. Estimativa mais precisa (inclui P\Delta V):
\Delta U = \Delta H - P\Delta V \approx 3{,}013{,}920 - 172{,}200 \approx 2{,}841{,}720\\ \mathrm{J}\approx 2{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a diferença de energia interna U_{\text{vapor}}-U_{\text{gelo}} é positiva, na ordem de 10^{6}\\ \mathrm{J} para 1{,}0\\ \mathrm{kg}. A resposta mais usada em exercícios elementares é a primeira (aprox. 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{J}), mas a segunda é um pouco mais correta pois subtrai o trabalho de expansão realizado pelo vapor à pressão atmosférica.

Resposta

\Delta U \approx 3{,}01\times10^{6}\\ \mathrm{J} (ignorando P\Delta V)
\Delta U \approx 2{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{J} (incluindo a estimativa de P\Delta V)

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