Um gás com 50,0 \mathrm{~g} de \mathrm{N}_{2}, inicialmente à pressão de uma atmosfera e ocupando um volume de 80,0 litros, é comprimido isotermicamente até que seu volume se reduz para 40,0 litros. Quanto de calor perde o gás?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma pergunta clara:
  • Massa do gás: 50,0\\ \mathrm{g} de \mathrm{N}_2.
  • Pressão inicial: P_i = 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Volume inicial: V_i = 80{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f = 40{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Processo: comprimido isotermicamente (a temperatura permanece constante).
  • Pergunta: Quanto de calor perde o gás? (ou seja, qual é o valor do calor Q trocado pelo gás; “perde” indica que esperamos um Q<0.)

Passo 2

Entendendo o que vale para um gás ideal em processo isotérmico (explicação didática e fórmula a usar).
  • Primeiro, a primeira lei da termodinâmica (com a convenção usual) pode ser escrita assim:
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema,
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se ganho, negativo se perdido),
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o gás realiza trabalho).
  • Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico ideal à temperatura constante, a energia interna depende apenas da temperatura. Logo, em um processo isotérmico vale:
\Delta U = 0.
Substituindo na primeira lei obtemos:
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Ou seja: o calor trocado é numericamente igual ao trabalho realizado pelo gás. Se o gás é comprimido (volume diminui), o trabalho realizado pelo gás é negativo, então Q será negativo — o gás perde calor.

Passo 3

Fórmula do trabalho em um processo isotérmico e derivação curta (aula prática).
  • Em um processo isotérmico para gás ideal, a pressão segue a relação P = \dfrac{nRT}{V} com n constante e T constante. O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i para V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como vimos, Q=W para isotérmico. Então
Q = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Observação prática que facilita cálculo sem determinar T explicitamente: pela equação dos gases ideais em V_i,
P_i V_i = n R T,
logo podemos substituir nRT por P_i V_i e obter
Q = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Isto é útil porque já temos P_i e V_i.

Passo 4

Calcular o número de mols (para entender os valores) — passo pedagógico.
  • Massa molar do \mathrm{N}_2: M = 28{,}02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (pois 2\times14{,}01).
  • Número de mols:
n=\frac{50{,}0\\ \mathrm{g}}{28{,}02\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}=1{,}784\\ \mathrm{mol}\\ \text{(aprox.)}.
Este valor serve para conferir consistência caso se queira calcular T via T=\dfrac{P_iV_i}{nR}, mas não é necessário para obter Q se usarmos P_iV_i direto.

Passo 5

Aplicar a fórmula prática usando P_iV_i.
  • Usando a expressão
Q = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
substituímos P_i = 1{,}00\\ \mathrm{atm}, V_i = 80{,}0\\ \mathrm{L}, V_f = 40{,}0\\ \mathrm{L}:
Q = (1{,}00\\ \mathrm{atm})(80{,}0\\ \mathrm{L})\ln\!\left(\frac{40{,}0}{80{,}0}\right) = 80{,}0\\ \mathrm{atm\cdot L}\cdot\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Sabendo que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 e \ln 2\approx 0{,}693147, temos
Q = 80{,}0\\ \mathrm{atm\cdot L}\times(-0{,}693147)= -55{,}4518\\ \mathrm{atm\cdot L}.

Passo 6

Converter unidades para joules e arredondar com consistência de algarismos significativos.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\\ \mathrm{J}.
  • Então
Q = -55{,}4518\\ \mathrm{atm\cdot L}\times 101{,}325\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{atm\cdot L}} = -5{,}617{,}7\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Com os dados fornecidos (três algarismos significativos em volumes e massa), é razoável apresentar o resultado com três algarismos significativos:
Q \approx -5{,}62\times10^{3}\\ \mathrm{J} = -5{,}62\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Interpretação física final e encorajamento.
  • O sinal negativo indica que o gás perde calor: ele recebe trabalho (positivo sobre ele) ao ser comprimido e, como a energia interna não muda (isotérmico), esse trabalho sai como calor para o ambiente.
  • Resultado prático: o gás perde cerca de 5{,}62\\ \mathrm{kJ}. Boa! Isso é exatamente o que a prova quer — reconhecer a relação entre isoterma, trabalho e calor e saber usar P_iV_i para simplificar o cálculo.

Resposta

-5{,}62\\ \mathrm{kJ}

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