(20) Mostre que se U e U^prime são isomorfos e que se V e V^prime são isomorfos, então L(U, V) é isomorfo a L(U^prime, V^prime).

Passo 1

O enunciado diz que existem isomorfismos lineares
;Acolon Uto U'
e
;Bcolon Vto V'.
Queremos mostrar que então
;L(U,V)
é isomorfo a
;L(U',V').
O conteúdo usado será a construção de um isomorfismo natural por composição de aplicações lineares e a verificação de que ele é bijetivo e linear.

Passo 2

Definimos a aplicação
;phicolon L(U,V)to L(U',V')
por
phi(T);=;Bcirc Tcirc A^-1,
para todo Tin L(U,V).
Como A e B são inversíveis, A^-1 e B são lineares e a composição preserva linearidade. Logo phi(T) é realmente um elemento de L(U',V').

Passo 3

Verificamos que phi é linear. Para T1,T2in L(U,V) e lambdainBbb K,
phi(T1+lambda T2) = Bcirc (T1+lambda T2)circ A^-1 = Bcirc T1circ A^-1 ;+;lambda,Bcirc T2circ A^-1 = phi(T1)+lambda,phi(T2)

Passo 4

Mostramos que phi é bijetiva.
  1. Injetezidade: se phi(T)=0, então
Bcirc Tcirc A^-1=0 ;Longrightarrow; T = B^-1circ0circ A = 0,
isto é, T é o operador zero, logo o núcleo de phi é trivial.
2. Sobreyetividade: dado Sin L(U',V'), considere
T = B^-1circ Scirc A
Então Tin L(U,V) e
phi(T) = Bcirc (B^-1circ Scirc A)circ A^-1 = S

Passo 5

Como phi é linear, injetiva e sobrejetiva, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

Portanto
L(U,V)cong L(U',V')

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