(20) Mostre que se
e
são isomorfos e que se
e
são isomorfos, então
é isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado diz que existem isomorfismos lineares
e
.
Queremos mostrar que então
é isomorfo a
.
O conteúdo usado será a construção de um isomorfismo natural por composição de aplicações lineares e a verificação de que ele é bijetivo e linear.
e
Queremos mostrar que então
é isomorfo a
O conteúdo usado será a construção de um isomorfismo natural por composição de aplicações lineares e a verificação de que ele é bijetivo e linear.
Passo 2
Definimos a aplicação
por
por
para todo
.
Como e
são inversíveis,
e
são lineares e a composição preserva linearidade. Logo
é realmente um elemento de
.
Como
Passo 3
Verificamos que
é linear. Para
e
,
Passo 4
Mostramos que
é bijetiva.
- Injetezidade: se
, então
isto é,
é o operador zero, logo o núcleo de
é trivial.
2. Sobreyetividade: dado , considere
2. Sobreyetividade: dado
Então
e
Passo 5
Como
é linear, injetiva e sobrejetiva, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
Portanto