Determine m, tal que:
3 i+(2 m-1) j+(m+2) k tenha módulo 3. (R: 召 m in R )

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de minR tais que o vetor
v=3i+(2m-1)j+(m+2)k
tenha módulo igual a 3. Vamos usar a fórmula do módulo de um vetor em R^3:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 2

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor, temos
|v| = raiz3^2 + (2m-1)^2 + (m+2)^2
e queremos que isso seja igual a 3. Logo, elevando ao quadrado, obtemos a equação
3^2 + (2m-1)^2 + (m+2)^2 = 3^2

Passo 3

Expandindo os quadrados e somando os termos, dá
9 + l(4m^2 -4m +1r) + l(m^2 +4m +4r) = 9
Agora agrupe termos semelhantes:
9 +4m^2 -4m +1 +m^2 +4m +4 =9 Longrightarrow 5m^2 +14 =9

Passo 4

Subtraindo 9 de ambos os lados ficamos com
5m^2 +14 -9 =0 Longrightarrow 5m^2 +5 =0 Longrightarrow m^2 +1 =0
Essa equação não admite raízes reais, pois m^2>=0 para todo minR e m^2+1 nunca zera.

Resposta

Não existe valor de m real que torne o módulo do vetor igual a 3.

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