(Grupo E) Usando as ideias de produto interno, escreva o vetor u=(1,2,3) como combinação linear dos vetores w1=(1,1,1), ww=(-1,1,0) e w3=(-1,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para escrever u=(1,2,3) como combinação linear dos vetores
w1=(1,1,1), w2=(-1,1,0) e w3=(-1,-1,2).
O conteúdo principal é “coeficientes em base ortogonal”, usando o produto interno para obter
u = c1,w1 + c2,w2 + c3,w3
onde, se a base é ortogonal,
ci = lang<= u,,wirang<=lang<= wi,,wirang<=

Passo 2

Verificamos que w1,w2,w3 é ortogonal, calculando os produtos internos:
lang<= w1,w2rang<= = 1cdot(-1)+1cdot1+1cdot0 = 0,
lang<= w1,w3rang<= = 1cdot(-1)+1cdot(-1)+1cdot2 = 0,
lang<= w2,w3rang<= = (-1)cdot(-1)+1cdot(-1)+0cdot2 = 0

Passo 3

Na base ortogonal, o coeficiente ci é dado por
ci = lang<= u,,wirang<=lang<= wi,,wirang<=

Passo 4

Calculamos cada produto interno e norma ao quadrado:
lang<= u,w1rang<= = 1cdot1 + 2cdot1 + 3cdot1 = 6, lang<= w1,w1rang<= = 1^2+1^2+1^2 = 3 ;Longrightarrow; c1 = 63 = 2
lang<= u,w2rang<= = 1cdot(-1) + 2cdot1 + 3cdot0 = 1, lang<= w2,w2rang<= = (-1)^2+1^2+0^2 = 2 ;Longrightarrow; c2 = 12
lang<= u,w3rang<= = 1cdot(-1) + 2cdot(-1) + 3cdot2 = 3, lang<= w3,w3rang<= = (-1)^2+(-1)^2+2^2 = 6 ;Longrightarrow; c3 = 36 = tfrac12

Passo 5

Substituindo os coeficientes na combinação linear, obtemos
u = 2,w1 + tfrac12,w2 + tfrac12,w3

Resposta

u = 2,w1 + tfrac12,w2 + tfrac12,w3.\newline

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