*18. Seja
um automorfismo de
. Dado
, mostre que existe
tal que
Passo 1
O enunciado dá:
é um automorfismo do grupo simétrico
. Para um elemento arbitrário
deve-se mostrar que existe
tal que
Ou seja, precisa-se provar que
é uma conjugação por algum
(isto é,
é um automorfismo interno). Observação importante: existe uma exceção clássica neste tipo de afirmação quando
(há automorfismos externos em
). Portanto, para que o argumento a seguir funcione sem exceção usaremos a hipótese implícita
.
Dados relevantes que usaremos (fornecidos implicitamente pelo enunciado):
-
é um automorfismo de grupos: é um isomorfismo . -
é um elemento qualquer de . - Precisamos construir
dependendo de tal que .
Passo 2
Conceitos e propriedades básicas que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
- Um automorfismo de grupo é um homomorfismo bijetivo. Logo
preserva produto, inverso e ordem dos elementos: se tem ordem então também tem ordem . - Para
o centralizador de é
Se
é automorfismo então
restringe a um isomorfismo entre
e
. Em particular,
(o tamanho do centralizador é preservado).
- Em
as classes de conjugação são determinadas pela estrutura de ciclos (o “tipo cíclico”). Para distinguir tipos cíclicos vamos usar o tamanho do centralizador, que numa permutação depende só do tipo cíclico. Para o caso de produtos de transposições disjuntas (isto é, ciclos de comprimento e pontos fixos) o tamanho do centralizador vale
Explicação sucinta dessa fórmula: pode-se permutar as
transposições entre si (
maneiras), dentro de cada transposição há duas maneiras de trocar os pontos (
) e as permutações nos pontos fixos são
. (Isto dá a ideia do produto acima; não é preciso formalizar mais para o exercício.)
- Transposições geram
. De fato, os elementos com geram todos os transpositivos e portanto todo : por exemplo
Passo 3
Identificar para que tipo de elementos (em particular transposições)
manda.
- Como
preserva ordem, elementos de ordem são levados em elementos de ordem . Em , os elementos de ordem são exatamente produtos de transposições disjuntas para algum . - Para tais elementos o tamanho do centralizador é
. Como preserva o tamanho do centralizador, se um elemento tem parâmetro então sua imagem tem um parâmetro tal que
- Para
essa igualdade só ocorre quando . (Comentário rápido: em há uma coincidência numérica entre e que causa a exceção conhecida; por isso evitamos .) - Conclusão: para
as transposições (caso ) são levadas por em transposições. Em outras palavras, envia qualquer transposição em outra transposição.
Passo 4
Começar a construir explicitamente
a partir de imagens de transposições.
- Fixe um ponto-base, por exemplo o
. Para cada considere a transposição . Pela observação anterior existe uma transposição . Escrevamos
com
.
- Vamos mostrar que todos esses transpositivos
têm um elemento em comum (o mesmo para todo ). Para isso note que, para ,
é um 3-ciclo (especificamente
), portanto tem ordem
e tipo cíclico “3-ciclo”. Aplicando
obtemos
que tem ordem
. Dois transposições cujo produto é um 3-ciclo têm de compartilhar exatamente um ponto (por exemplo
). Assim
e
compartilham exatamente um ponto.
- Tomando três índices distintos
as interseções forçam o ponto comum a ser o mesmo para todos: se e intersectam em e e intersectam em , então porque só tem dois pontos; portanto existe um único elemento comum a todas as . - Denote esse ponto comum por
. Então para cada existe um tal que
Passo 5
Definir
e provar que é permutação.
- Defina
em por
- Mostrar que
é injetiva: se com então , e pela injectividade de teríamos , absurdo. Logo é injetiva e, por ser mapa finito entre conjuntos de mesmo tamanho, é bijetiva. Assim .
Passo 6
Verificar que
coincide com conjugação por
em todas as transposições.
- Para
temos a identidade (já mencionada)
Aplicando
e usando que
(pois
e
) obtemos
- O produto à direita é precisamente a conjugação do transpositivo
por , que resulta em . Portanto
- Assim
coincide com a conjugação por em todas as transposições .
Passo 7
Concluir para qualquer
.
- As transposições geram
. Como e a conjugação por são homomorfismos que coincidem nos geradores (as transposições), eles coincidem em todo o grupo. Logo para todo
- Isto mostra que
é um automorfismo interno, isto é, conjugação por .
Passo 8
Observação final sobre a exceção
(motivação e aviso).
- Tudo o que foi usado no passo 3 depende de distinguir transposições pelo tamanho do seu centralizador. Para
existe uma coincidência numérica que faz com que transposições e produtos de três transposições disjuntas tenham o mesmo tamanho de centralizador; por isso nesse caso não se pode garantir que envie transposições em transposições e a conclusão acima falha: tem automorfismos externos. Por isso o resultado afirmado vale para .
Resposta
Existe
tal que
(para
).