*18. Seja \varphi um automorfismo de S_{n}. Dado \tau \in S_{n}, mostre que existe \sigma \in S_{n} tal que
\varphi(\tau)=\sigma \tau \sigma^{-1}

Passo 1

O enunciado dá: \varphi é um automorfismo do grupo simétrico S_{n}. Para um elemento arbitrário \tau\in S_{n} deve-se mostrar que existe \sigma\in S_{n} tal que
\varphi(\tau)=\sigma\tau\sigma^{-1}.
Ou seja, precisa-se provar que \varphi é uma conjugação por algum \sigma (isto é, \varphi é um automorfismo interno). Observação importante: existe uma exceção clássica neste tipo de afirmação quando n=6 (há automorfismos externos em S_6). Portanto, para que o argumento a seguir funcione sem exceção usaremos a hipótese implícita n\neq6.
Dados relevantes que usaremos (fornecidos implicitamente pelo enunciado):
  • \varphi é um automorfismo de grupos: é um isomorfismo \varphi\colon S_n\to S_n.
  • \tau é um elemento qualquer de S_n.
  • Precisamos construir \sigma\in S_n dependendo de \varphi tal que \varphi(\tau)=\sigma\tau\sigma^{-1}.

Passo 2

Conceitos e propriedades básicas que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Um automorfismo de grupo é um homomorfismo bijetivo. Logo \varphi preserva produto, inverso e ordem dos elementos: se g tem ordem m então \varphi(g) também tem ordem m.
  • Para g\in G o centralizador de g é
C_G(g)=\{h\in G\mid hg=gh\}.
Se \varphi é automorfismo então \varphi restringe a um isomorfismo entre C_{S_n}(g) e C_{S_n}(\varphi(g)). Em particular, |C_{S_n}(g)|=|C_{S_n}(\varphi(g))| (o tamanho do centralizador é preservado).
  • Em S_n as classes de conjugação são determinadas pela estrutura de ciclos (o “tipo cíclico”). Para distinguir tipos cíclicos vamos usar o tamanho do centralizador, que numa permutação depende só do tipo cíclico. Para o caso de produtos de k transposições disjuntas (isto é, k ciclos de comprimento 2 e n-2k pontos fixos) o tamanho do centralizador vale
2^{k} k! (n-2k)!.
Explicação sucinta dessa fórmula: pode-se permutar as k transposições entre si ( k! maneiras), dentro de cada transposição há duas maneiras de trocar os pontos ( 2^k) e as permutações nos pontos fixos são (n-2k)!. (Isto dá a ideia do produto acima; não é preciso formalizar mais para o exercício.)
  • Transposições geram S_n. De fato, os elementos (1\;i) com i=2,\dots,n geram todos os transpositivos e portanto todo S_n: por exemplo
(i\;j)=(1\;i)(1\;j)(1\;i).

Passo 3

Identificar para que tipo de elementos (em particular transposições) \varphi manda.
  • Como \varphi preserva ordem, elementos de ordem 2 são levados em elementos de ordem 2. Em S_n, os elementos de ordem 2 são exatamente produtos de k transposições disjuntas para algum k\ge1.
  • Para tais elementos o tamanho do centralizador é 2^{k} k! (n-2k)!. Como \varphi preserva o tamanho do centralizador, se um elemento tem parâmetro k então sua imagem tem um parâmetro k' tal que
2^{k} k! (n-2k)! = 2^{k'} k'! (n-2k')!.
  • Para n\neq 6 essa igualdade só ocorre quando k=k'. (Comentário rápido: em n=6 há uma coincidência numérica entre k=1 e k=3 que causa a exceção conhecida; por isso evitamos n=6.)
  • Conclusão: para n\neq6 as transposições (caso k=1) são levadas por \varphi em transposições. Em outras palavras, \varphi envia qualquer transposição em outra transposição.

Passo 4

Começar a construir explicitamente \sigma a partir de imagens de transposições.
  • Fixe um ponto-base, por exemplo o 1\in\{1,\dots,n\}. Para cada i\in\{2,\dots,n\} considere a transposição (1\;i). Pela observação anterior existe uma transposição \varphi((1\;i)). Escrevamos
\varphi((1\;i))=(a_i\; b_i),
com a_i\neq b_i.
  • Vamos mostrar que todos esses transpositivos (a_i\; b_i) têm um elemento em comum (o mesmo para todo i). Para isso note que, para i\neq j,
(1\;i)(1\;j)
é um 3-ciclo (especificamente (1\;j\;i)), portanto tem ordem 3 e tipo cíclico “3-ciclo”. Aplicando \varphi obtemos
\varphi((1\;i))\,\varphi((1\;j))=\varphi((1\;i)(1\;j))
que tem ordem 3. Dois transposições cujo produto é um 3-ciclo têm de compartilhar exatamente um ponto (por exemplo (x\;y)(x\;z)=(x\;z\;y)). Assim (a_i\; b_i) e (a_j\; b_j) compartilham exatamente um ponto.
  • Tomando três índices distintos i,j,k as interseções forçam o ponto comum a ser o mesmo para todos: se (a_i\; b_i) e (a_j\; b_j) intersectam em c e (a_j\; b_j) e (a_k\; b_k) intersectam em d, então c=d porque (a_j\; b_j) só tem dois pontos; portanto existe um único elemento comum a todas as \varphi((1\;i)).
  • Denote esse ponto comum por p. Então para cada i existe um q_i tal que
\varphi((1\;i))=(p\; q_i).

Passo 5

Definir \sigma e provar que é permutação.
  • Defina \sigma em \{1,\dots,n\} por
\sigma(1)=p,\qquad \sigma(i)=q_i\quad\text{para }i=2,\dots,n.
  • Mostrar que \sigma é injetiva: se \sigma(i)=\sigma(j) com i\neq j então \varphi((1\;i))=(p\;\sigma(i))=(p\;\sigma(j))=\varphi((1\;j)), e pela injectividade de \varphi teríamos (1\;i)=(1\;j), absurdo. Logo \sigma é injetiva e, por ser mapa finito entre conjuntos de mesmo tamanho, é bijetiva. Assim \sigma\in S_n.

Passo 6

Verificar que \varphi coincide com conjugação por \sigma em todas as transposições.
  • Para i\neq j temos a identidade (já mencionada)
(i\;j)=(1\;i)(1\;j)(1\;i).
Aplicando \varphi e usando que \varphi((1\;i))=(\sigma(1)\;\sigma(i)) (pois \sigma(1)=p e \sigma(i)=q_i) obtemos
\varphi((i\;j))=\varphi((1\;i))\,\varphi((1\;j))\,\varphi((1\;i)) =(\sigma(1)\;\sigma(i))(\sigma(1)\;\sigma(j))(\sigma(1)\;\sigma(i)).
  • O produto à direita é precisamente a conjugação do transpositivo (\sigma(1)\;\sigma(j)) por (\sigma(1)\;\sigma(i)), que resulta em (\sigma(i)\;\sigma(j)). Portanto
\varphi((i\;j))=(\sigma(i)\;\sigma(j))=\sigma\,(i\;j)\,\sigma^{-1}.
  • Assim \varphi coincide com a conjugação por \sigma em todas as transposições (i\;j).

Passo 7

Concluir para qualquer \tau\in S_n.
  • As transposições geram S_n. Como \varphi e a conjugação por \sigma são homomorfismos que coincidem nos geradores (as transposições), eles coincidem em todo o grupo. Logo para todo \tau\in S_n
\varphi(\tau)=\sigma\,\tau\,\sigma^{-1}.
  • Isto mostra que \varphi é um automorfismo interno, isto é, conjugação por \sigma.

Passo 8

Observação final sobre a exceção n=6 (motivação e aviso).
  • Tudo o que foi usado no passo 3 depende de distinguir transposições pelo tamanho do seu centralizador. Para n=6 existe uma coincidência numérica que faz com que transposições e produtos de três transposições disjuntas tenham o mesmo tamanho de centralizador; por isso nesse caso não se pode garantir que \varphi envie transposições em transposições e a conclusão acima falha: S_6 tem automorfismos externos. Por isso o resultado afirmado vale para n\neq6.

Resposta

Existe \sigma\in S_n tal que \varphi(\tau)=\sigma\tau\sigma^{-1} (para n\neq6).

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