(20 \%) Obtenha uma expressão para a constante de fase, \phi_{0} em termos apenas da poslção e velocidade iniciais e da frequência angular \omega.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo em t=0):
  • Dados fornecidos:
    • posição inicial \;x(0)=x_0\;,
    • velocidade inicial \;v(0)=v_0\;,
    • frequência angular \;\omega\;.
  • Pedido: obter uma expressão para a constante de fase \phi_0 escrita apenas em termos de \;x_0,\;v_0\; e \;\omega\;.

Passo 2

Escrevendo a solução geral (forma trigonométrica padrão) para o movimento harmônico simples:
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\phi_0\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (número positivo),
  • \omega é a frequência angular dada,
  • \phi_0 é a constante de fase que queremos achar.
    Aqui cada símbolo significa:
  • x(t) é a posição no tempo t,
  • A tem unidades de comprimento (mesmas de x_0),
  • \phi_0 é um ângulo (em radianos).

Passo 3

Avalie x(t) e v(t) em t=0. A velocidade corresponde à derivada temporal:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\!\bigl(\omega t+\phi_0\bigr).
Em t=0 obtemos duas equações envolvendo A e \phi_0:
x_0 = A\cos\!\bigl(\phi_0\bigr), \qquad v_0 = -A\omega\sin\!\bigl(\phi_0\bigr).

Passo 4

Isolar o cosseno e o seno de \phi_0 dividindo por A:
\cos\!\bigl(\phi_0\bigr)=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\!\bigl(\phi_0\bigr)=-\frac{v_0}{A\omega}.
Essas duas identidades devem ser consistentes, e podem ser usadas também para obter A. Calcule A eliminando \phi_0 com a identidade \cos^2+\sin^2=1:
\left(\frac{x_0}{A}\right)^{2}+\left(-\frac{v_0}{A\omega}\right)^{2}=1
\Rightarrow \; \frac{x_0^{2}}{A^{2}}+\frac{v_0^{2}}{A^{2}\omega^{2}}=1
\Rightarrow \; A^{2}=x_0^{2}+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^{2}.
Portanto
A=\sqrt{x_0^{2}+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^{2}}.

Passo 5

Agora obtenha \phi_0 dividindo a expressão para \sin por \cos (assim obtemos a tangente):
\tan\!\bigl(\phi_0\bigr)=\frac{\sin\!\bigl(\phi_0\bigr)}{\cos\!\bigl(\phi_0\bigr)} =\frac{-\dfrac{v_0}{A\omega}}{\dfrac{x_0}{A}} =-\frac{v_0}{\omega x_0}.
Logo, uma forma direta é
\phi_0=\arctan\!\left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right).

Passo 6

Atenção com a função \arctan: \arctan dá o ângulo no intervalo principal (por exemplo -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), então pode ser necessário ajustar por \pi para obter a quadrante correto quando x_0<0. Uma forma robusta, que já leva em conta o sinal de x_0 e v_0 (ou seja, o quadrante) é usar a função de duas-argumentos \operatorname{atan2}(y,x) aplicada a (\sin\phi_0,\cos\phi_0). Substituindo as expressões acima:
\phi_0=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{v_0}{\omega},\;x_0\right).
Esta expressão retorna o ângulo \phi_0 corretamente no intervalo (-\pi,\pi] (ou outro intervalo padrão da implementação), sem necessidade de correções manuais.

Passo 7

Resumo das formas úteis (ambas dependem apenas de x_0,\;v_0,\;\omega):
  • Forma compacta e robusta (recomendada):
\phi_0=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{v_0}{\omega},\;x_0\right).
  • Forma via \arctan (exige correção de quadrante quando x_0<0):
\phi_0=\arctan\!\left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right)\quad\text{(acrescentar \(\pi\) se necessário quando \(x_0<0\)).}á

Resposta

\displaystyle \phi_0=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{v_0}{\omega},\,x_0\right)
\displaystyle \phi_0=\arctan\!\left(-\dfrac{v_0}{\omega x_0}\right)\\ \text{(ajustar por }\pi\text{ se }x_0<0\text{)}

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