Obtenha uma expressão para a constante de fase,
em termos apenas da poslção e velocidade iniciais e da frequência angular
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo em
):
- Dados fornecidos:
- posição inicial
, - velocidade inicial
, - frequência angular
.
- posição inicial
- Pedido: obter uma expressão para a constante de fase
escrita apenas em termos de e .
Passo 2
Escrevendo a solução geral (forma trigonométrica padrão) para o movimento harmônico simples:
onde:
-
é a amplitude (número positivo), -
é a frequência angular dada, -
é a constante de fase que queremos achar.
Aqui cada símbolo significa: -
é a posição no tempo , -
tem unidades de comprimento (mesmas de ), -
é um ângulo (em radianos).
Passo 3
Avalie
e
em
. A velocidade corresponde à derivada temporal:
Em
obtemos duas equações envolvendo
e
:
Passo 4
Isolar o cosseno e o seno de
dividindo por
:
Essas duas identidades devem ser consistentes, e podem ser usadas também para obter
. Calcule
eliminando
com a identidade
:
Portanto
Passo 5
Agora obtenha
dividindo a expressão para
por
(assim obtemos a tangente):
Logo, uma forma direta é
Passo 6
Atenção com a função
:
dá o ângulo no intervalo principal (por exemplo
a
), então pode ser necessário ajustar por
para obter a quadrante correto quando
. Uma forma robusta, que já leva em conta o sinal de
e
(ou seja, o quadrante) é usar a função de duas-argumentos
aplicada a
. Substituindo as expressões acima:
Esta expressão retorna o ângulo
corretamente no intervalo
(ou outro intervalo padrão da implementação), sem necessidade de correções manuais.
Passo 7
Resumo das formas úteis (ambas dependem apenas de
):
- Forma compacta e robusta (recomendada):
- Forma via
(exige correção de quadrante quando ):