(1,0 ponto) Questão 3 - Uma nave, quando em repouso em relação ao solo, mede 80 metros. Se essa nave estiver movimentando-se paralelamente ao solo, com velocidade
, qual será seu comprimento, medido por um observador fixo em relação ao solo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Comprimento da nave quando em repouso em relação ao solo (comprimento de repouso):
. - Velocidade da nave em relação ao observador fixo no solo:
. - Pergunta: qual é o comprimento da nave medido por um observador fixo em relação ao solo (ou seja, o comprimento medido quando a nave está em movimento relativo ao observador)?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando um objeto se move em relação a um observador, o comprimento medido na direção do movimento fica menor do que o comprimento medido no referencial do próprio objeto. Esse efeito é conhecido como contração de comprimentos.
- Denotando:
-
= comprimento medido no referencial da nave (comprimento de repouso); -
= comprimento medido pelo observador para o qual a nave se move; -
= velocidade relativa entre nave e observador; -
= velocidade da luz no vácuo (usar quando necessário).
-
- A relação entre
e é dada por:
- Explicando a fórmula passo a passo:
- Primeiro define-se o fator de Lorentz
como . - A contração de comprimentos pode ser escrita também como
. - Ou seja, quanto maior a velocidade
em relação a , maior e menor o comprimento observado. Aqui não é preciso derivar a fórmula completa das transformações de Lorentz, mas é importante saber que a medição do comprimento pelo observador em movimento exige que as posições dianteira e traseira sejam medidas simultaneamente no referencial do observador — isso é o que leva à expressão acima.
- Primeiro define-se o fator de Lorentz
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores dados:
- Primeiro calculamos a razão
:
- Em seguida calculamos
:
- Logo o comprimento contraído é
- Podemos simplificar
:
portanto
Passo 4
Avaliação numérica (sem calculadora, usando um valor conhecido):
- Valor aproximado de
é . - Então
- Interpretação: o comprimento medido pelo observador fixo em relação ao solo é menor que
, ficando cerca de .
Passo 5
Resumo final rápido e um incentivo:
- Resultado prático: a nave “encolhe” na direção do movimento quando vista por quem está no solo; o cálculo acima mostra exatamente como obter esse valor. Mandou bem em procurar a resolução passo a passo — está indo bem, continua assim!