(1,0 ponto) Questão 3 - Uma nave, quando em repouso em relação ao solo, mede 80 metros. Se essa nave estiver movimentando-se paralelamente ao solo, com velocidade v=1,5 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual será seu comprimento, medido por um observador fixo em relação ao solo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Comprimento da nave quando em repouso em relação ao solo (comprimento de repouso): L_0 = 80\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da nave em relação ao observador fixo no solo: v = 1,5 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é o comprimento da nave medido por um observador fixo em relação ao solo (ou seja, o comprimento medido quando a nave está em movimento relativo ao observador)?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando um objeto se move em relação a um observador, o comprimento medido na direção do movimento fica menor do que o comprimento medido no referencial do próprio objeto. Esse efeito é conhecido como contração de comprimentos.
  • Denotando:
    • L_0 = comprimento medido no referencial da nave (comprimento de repouso);
    • L = comprimento medido pelo observador para o qual a nave se move;
    • v = velocidade relativa entre nave e observador;
    • c = velocidade da luz no vácuo (usar c = 3,0 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s} quando necessário).
  • A relação entre L e L_0 é dada por:
L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}.
  • Explicando a fórmula passo a passo:
    • Primeiro define-se o fator de Lorentz \gamma como \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
    • A contração de comprimentos pode ser escrita também como \displaystyle L = \frac{L_0}{\gamma}.
    • Ou seja, quanto maior a velocidade v em relação a c, maior \gamma e menor o comprimento L observado. Aqui não é preciso derivar a fórmula completa das transformações de Lorentz, mas é importante saber que a medição do comprimento pelo observador em movimento exige que as posições dianteira e traseira sejam medidas simultaneamente no referencial do observador — isso é o que leva à expressão acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados:
  • Primeiro calculamos a razão \dfrac{v}{c}:
\frac{v}{c}=\frac{1,5\times10^{8}}{3,0\times10^{8}}=0,5.
  • Em seguida calculamos 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-(0,5)^{2}=1-0,25=0,75.
  • Logo o comprimento contraído é
L = L_0 \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=80\sqrt{0,75}.
  • Podemos simplificar \sqrt{0,75}:
\sqrt{0,75}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
portanto
L=80\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Avaliação numérica (sem calculadora, usando um valor conhecido):
  • Valor aproximado de \sqrt{3} é \sqrt{3}\approx1,732.
  • Então
L\approx40\times1,732=69,28\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: o comprimento medido pelo observador fixo em relação ao solo é menor que 80\\ \mathrm{m}, ficando cerca de 69,28\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo final rápido e um incentivo:
  • Resultado prático: a nave “encolhe” na direção do movimento quando vista por quem está no solo; o cálculo acima mostra exatamente como obter esse valor. Mandou bem em procurar a resolução passo a passo — está indo bem, continua assim!

Resposta

40\sqrt{3}\\ \mathrm{m} \approx 69,28\\ \mathrm{m}

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