Uma mangueira, com o bico a 2,0 \mathrm{~m} acima do solo, é apontada para cima sob um ângulo de 40^{\circ} em relação ao chão. O jato de água atinge um canteiro situado a 20 m de distância horizontal. Adote:
g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad \cos 40^{\circ} \approx 0,77, \quad \sin 40^{\circ} \approx 0,64
(a) Qual o módulo da inicial v_{0} o jato sai da mangueira?
(b) Qual a altura máxima H atingida pelo jato de água em relação ao solo?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Altura do bico em relação ao solo: \;y_0 = 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo de lançamento em relação ao chão: \;\theta = 40^\circ.
  • Distância horizontal até o canteiro: \;x = 20\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: \;g = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Aproximações trigonométricas fornecidas: \;\cos 40^\circ \approx 0,77,\quad \sin 40^\circ \approx 0,64.
O enunciado pede duas coisas:
(a) o módulo da velocidade inicial \;v_0 com que o jato sai da mangueira;
(b) a altura máxima \;H alcançada pelo jato em relação ao solo.

Passo 2

Vamos decompor o movimento do jato em componentes horizontal e vertical (a recomendação clássica para projéteis). Define-se:
v_{0x} = v_0\cos\theta \quad\text{(componente horizontal da velocidade inicial)},
v_{0y} = v_0\sin\theta \quad\text{(componente vertical da velocidade inicial)}.
Equações do movimento (movimento retilíneo uniforme horizontal e movimento uniformemente variado vertical):
  • Horizontal: x = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\;t.
  • Vertical (posição em relação ao solo): y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2}gt^2 = y_0 + v_0\sin\theta\;t - \frac{1}{2}gt^2.
Aqui:
  • \;x é a distância horizontal percorrida em tempo \;t;
  • \;y(t) é a altura em relação ao solo no instante \;t;
  • \;y_0 é a altura inicial (aqui \;2,0\\ \mathrm{m}).
Para encontrar \;v_0 usamos que, ao atingir o canteiro, a abscissa é \;x=20\\ \mathrm{m} e a altura do canteiro é o solo ( \;y=0). Assim, no tempo de impacto \;t_f vale:
x = 20 = v_0\cos\theta\;t_f,
0 = y_0 + v_0\sin\theta\;t_f - \frac{1}{2}g t_f^2.

Passo 3

Isolando t_f da equação horizontal:
t_f = \frac{20}{v_0\cos\theta}.
Substitui-se esse t_f na equação vertical (onde y=0):
0 = y_0 + v_0\sin\theta\left(\frac{20}{v_0\cos\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{20}{v_0\cos\theta}\right)^2.
Simplificando termo a termo:
0 = y_0 + 20\tan\theta - \frac{1}{2}g\frac{400}{v_0^2\cos^2\theta}.
Rearranjando para resolver v_0^2:
\frac{1}{2}g\frac{400}{v_0^2\cos^2\theta} = y_0 + 20\tan\theta
v_0^2 = \frac{\tfrac{1}{2}g\cdot 400}{\cos^2\theta\;\bigl(y_0 + 20\tan\theta\bigr)}.
Observação: essa fórmula vem de isolar v_0^2 na igualdade acima; todas as quantidades no lado direito são conhecidas (ou podem ser obtidas de \sin\theta e \cos\theta).

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente passo a passo usando as aproximações fornecidas.
Calcule \tan\theta usando \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}:
\tan 40^\circ \approx \frac{0,64}{0,77} \approx 0,83.
Calcule o numerador:
\tfrac{1}{2}g\cdot 400 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 400 = 2000.
Calcule \cos^2\theta:
\cos^2 40^\circ \approx (0,77)^2 = 0,5929.
Calcule y_0 + 20\tan\theta:
y_0 + 20\tan 40^\circ \approx 2,0 + 20\cdot 0,83 \approx 2,0 + 16,62 = 18,62.
Agora o denominador:
\cos^2\theta\;\bigl(y_0 + 20\tan\theta\bigr) \approx 0,5929\cdot 18,62 \approx 11,04.
Logo
v_0^2 \approx \frac{2000}{11,04} \approx 181,14,
v_0 \approx \sqrt{181,14} \approx 13,46\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando com dois algarismos significativos razoáveis: \;v_0 \approx 13,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Agora encontramos a altura máxima \;H (em relação ao solo). O procedimento: primeiro achar a componente vertical inicial \;v_{0y}, depois usar a fórmula da altura máxima relativa ao ponto de lançamento.
Componente vertical:
v_{0y} = v_0\sin\theta \approx 13,46\cdot 0,64 \approx 8,61\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Altura máxima acima do ponto de lançamento (fórmula da cinemática: velocidade vertical zero no topo):
\Delta h = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
Calculando:
v_{0y}^2 \approx (8,61)^2 \approx 74,15,
\Delta h \approx \frac{74,15}{2\cdot 10} = \frac{74,15}{20} \approx 3,71\\ \mathrm{m}.
Altura máxima em relação ao solo:
H = y_0 + \Delta h \approx 2,0 + 3,71 = 5,71\\ \mathrm{m}.
Breve checagem (opcional, só para conforto): o tempo total de voo calculado por t_f = \dfrac{20}{v_0\cos\theta} dá cerca de t_f \approx \dfrac{20}{13,46\cdot 0,77}\approx 1,93\\ \mathrm{s}, e o tempo até o pico t_{\text{pico}}=v_{0y}/g\approx 0,861\\ \mathrm{s}, o que é consistente (pico antes do impacto). Tudo coerente.

Resposta

(a) v_0 \approx 13,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) H \approx 5,71\\ \mathrm{m}

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