Uma mangueira, com o bico a
acima do solo, é apontada para cima sob um ângulo de
em relação ao chão. O jato de água atinge um canteiro situado a 20 m de distância horizontal. Adote:
(a) Qual o módulo da inicial
o jato sai da mangueira?
(b) Qual a altura máxima
atingida pelo jato de água em relação ao solo?
(b) Qual a altura máxima
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
- Altura do bico em relação ao solo:
- Ângulo de lançamento em relação ao chão:
- Distância horizontal até o canteiro:
- Aceleração da gravidade:
- Aproximações trigonométricas fornecidas:
O enunciado pede duas coisas:
(a) o módulo da velocidade inicial com que o jato sai da mangueira;
(b) a altura máxima alcançada pelo jato em relação ao solo.
(a) o módulo da velocidade inicial
(b) a altura máxima
Passo 2
Vamos decompor o movimento do jato em componentes horizontal e vertical (a recomendação clássica para projéteis). Define-se:
Equações do movimento (movimento retilíneo uniforme horizontal e movimento uniformemente variado vertical):
- Horizontal:
- Vertical (posição em relação ao solo):
Aqui:
-
é a distância horizontal percorrida em tempo ; -
é a altura em relação ao solo no instante ; -
é a altura inicial (aqui ).
Para encontrar
usamos que, ao atingir o canteiro, a abscissa é
e a altura do canteiro é o solo (
). Assim, no tempo de impacto
vale:
Passo 3
Isolando
da equação horizontal:
Substitui-se esse
na equação vertical (onde
):
Simplificando termo a termo:
Rearranjando para resolver
:
Observação: essa fórmula vem de isolar
na igualdade acima; todas as quantidades no lado direito são conhecidas (ou podem ser obtidas de
e
).
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente passo a passo usando as aproximações fornecidas.
Calcule
usando
:
Calcule o numerador:
Calcule
:
Calcule
:
Agora o denominador:
Logo
Arredondando com dois algarismos significativos razoáveis:
Passo 5
Agora encontramos a altura máxima
(em relação ao solo). O procedimento: primeiro achar a componente vertical inicial
, depois usar a fórmula da altura máxima relativa ao ponto de lançamento.
Componente vertical:
Altura máxima acima do ponto de lançamento (fórmula da cinemática: velocidade vertical zero no topo):
Calculando:
Altura máxima em relação ao solo:
Breve checagem (opcional, só para conforto): o tempo total de voo calculado por
dá cerca de
, e o tempo até o pico
, o que é consistente (pico antes do impacto). Tudo coerente.
Resposta
(a)
(b)
(b)