(20 \%) Obtenha expressões para (i) a posição inicial, x(0), e (II) a velocidade v(0), em termos de A, \omega, e \phi_{0}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (i) a posição inicial x(0) em termos de A, \omega e \phi_{0};
  • (ii) a velocidade inicial v(0) em termos de A, \omega e \phi_{0}.
Vamos trabalhar com a expressão padrão de um movimento harmônico simples (que é o caso mais comum quando aparecem A, \omega e \phi_{0}):
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\phi_{0}\bigr).
As quantidades fornecidas são:
  • A: amplitude (deslocamento máximo, em unidades de comprimento);
  • \omega: pulsação ou frequência angular (em rad/s);
  • \phi_{0}: fase inicial (em radianos).

Passo 2

Entendendo o que cada símbolo representa (curto e prático):
  • A indica até quanto a partícula chega a partir da posição de equilíbrio;
  • \omega indica quão rápido a fase \omega t+\phi_{0} varia com o tempo;
  • \phi_{0} determina a posição e sinal iniciais em t=0 (é o “deslocamento de fase” no instante inicial).
Isso já explica por que basta avaliar a função x(t) e sua derivada em t=0.

Passo 3

Calcular a posição inicial x(0) é apenas substituir t=0 na expressão de x(t). Fazendo isso:
x(0)=A\cos\!\bigl(\omega\cdot 0+\phi_{0}\bigr)=A\cos\!\bigl(\phi_{0}\bigr).
Interpretação rápida: a posição inicial depende só da amplitude e da fase inicial; se \phi_{0}=0 então x(0)=A, se \phi_{0}=\pi/2 então x(0)=0, etc.

Passo 4

Para obter a velocidade v(t) usamos que velocidade é a derivada temporal da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Ao derivar funções do tipo \cos(u(t)) usa-se a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u) multiplicada por u'(t). Aqui u(t)=\omega t+\phi_{0} e u'(t)=\omega (porque a derivada de \omega t é \omega e \phi_{0} é constante).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia à nossa x(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\cos(\omega t+\phi_{0})\bigr] = A\cdot\bigl(-\sin(\omega t+\phi_{0})\bigr)\cdot\frac{d}{dt}(\omega t+\phi_{0}) = -A\omega\sin(\omega t+\phi_{0}).
Agora avaliamos em t=0:
v(0)=-A\omega\sin(\phi_{0}).
Interpretação: o sinal e o valor da velocidade inicial dependem da fase inicial; por exemplo, se \phi_{0}=0 então v(0)=0 (inicia no extremo com velocidade nula), se \phi_{0}=\pi/2 então v(0)=-A\omega (inicia no equilíbrio com velocidade máxima negativa), etc.

Resposta

x(0)=A\cos(\phi_{0})
v(0)=-A\omega\sin(\phi_{0})

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