Obtenha expressões para (i) a posição inicial,
, e (II) a velocidade
, em termos de
, e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (i) a posição inicial
em termos de , e ; - (ii) a velocidade inicial
em termos de , e .
Vamos trabalhar com a expressão padrão de um movimento harmônico simples (que é o caso mais comum quando aparecem
,
e
):
As quantidades fornecidas são:
-
: amplitude (deslocamento máximo, em unidades de comprimento); -
: pulsação ou frequência angular (em rad/s); -
: fase inicial (em radianos).
Passo 2
Entendendo o que cada símbolo representa (curto e prático):
-
indica até quanto a partícula chega a partir da posição de equilíbrio; -
indica quão rápido a fase varia com o tempo; -
determina a posição e sinal iniciais em (é o “deslocamento de fase” no instante inicial).
Isso já explica por que basta avaliar a função
e sua derivada em
.
Passo 3
Calcular a posição inicial
é apenas substituir
na expressão de
. Fazendo isso:
Interpretação rápida: a posição inicial depende só da amplitude e da fase inicial; se
então
, se
então
, etc.
Passo 4
Para obter a velocidade
usamos que velocidade é a derivada temporal da posição:
Ao derivar funções do tipo
usa-se a regra da cadeia: a derivada de
é
multiplicada por
. Aqui
e
(porque a derivada de
é
e
é constante).
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia à nossa
:
Agora avaliamos em
:
Interpretação: o sinal e o valor da velocidade inicial dependem da fase inicial; por exemplo, se
então
(inicia no extremo com velocidade nula), se
então
(inicia no equilíbrio com velocidade máxima negativa), etc.