9.21 Expanda a função complexa
f(z)=\frac{z-3}{z-7}
em série de Laurent em torno de z=3 na região |z-3|<4.

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(z)=\frac{z-3}{z-7}
em série de Laurent em torno de z=3 na região \lvert z-3\rvert<4. Como o ponto singular z=7 está à distância 4 de 3, a expansão em potências de w=z-3 usa uma série geométrica válida para \lvert w\rvert<4.

Passo 2

Definindo w=z-3, temos
f(z)=\frac{w}{(w-4)} =-\frac{w}{4-w} =-\frac{w}{4}\,\frac{1}{1-\frac{w}{4}}.

Passo 3

Usando a série geométrica
\frac{1}{1-\frac{w}{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{w}{4}\Bigr)^{n}, \quad\lvert w\rvert<4,
substituímos em f:
f(z)=-\frac{w}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{w}{4}\Bigr)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n+1}}{4^{n+1}}.

Passo 4

Renumerando k=n+1, obtemos a expansão em potências de z-3:
f(z)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(z-3)^{k}}{4^{k}},
válida para \lvert z-3\rvert<4.

Resposta

f(z) = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(z-3)^{k}}{4^{k}}, \quad \lvert z-3\rvert<4.

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