9.20 Obtenha a série de Laurent de
em torno de
no anel
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent de
em torno de
válida no disco
.
O conteúdo aqui é reescrever em termos da variável
, fatorar para aparecer um termo
e usar a expansão geométrica em
.
O conteúdo aqui é reescrever
Passo 2
Definimos
Então
Substituindo em
, temos
Passo 3
Escrevemos
Para
, podemos expandir a parte
como série geométrica, pois
Passo 4
Multiplicando pela factor
, obtemos a série de Laurent em potências de
:
Reindexando com
(ou seja,
), fica
onde
.
Resposta
A série de Laurent de
em torno de
para
é