[20 \%] Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobre-sinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada:
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2 s+36}

Passo 1

O enunciado pede as características de tempo de resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem subamortecido, cuja função de transferência em malha fechada é
\frac{Y(s)}{R(s)} \;=\; \frac{36}{s^{2} + 2\,s + 36}.
O conteúdo aqui é resposta de sistemas de segunda ordem: vamos identificar a frequência natural \omega_{n} e o coeficiente de amortecimento \zeta e usar as fórmulas padrão para tempo de subida t_{r}, tempo de pico t_{p}, máximo sobre-sinal M_{p} e tempo de acomodação t_{s}.

Passo 2

Comparando
\frac{36}{s^{2} + 2\,s + 36} \quad\text{com}\quad \frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2} + 2\,\zeta\,\omega_{n}\,s + \omega_{n}^{2}},
vemos que
\omega_{n}^{2} = 36 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{n} = 6,
2\,\zeta\,\omega_{n} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \zeta = \frac{2}{2\cdot6} = \frac{1}{6}.
Também definimos a frequência amortecida
\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1 - \zeta^{2}} = 6\sqrt{1 - \tfrac{1}{36}} = 6\sqrt{\tfrac{35}{36}} = \sqrt{35}.

Passo 3

O tempo de pico t_{p} é o instante do primeiro máximo da resposta e vale
t_{p} = \frac{\pi}{\omega_{d}} = \frac{\pi}{\sqrt{35}} \approx 0,531\;\text{s}.
O máximo sobre-sinal M_{p} (em percentual) usa
M_{p} = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times100\% = \exp\!\Bigl(-\frac{\tfrac{1}{6}\,\pi}{\sqrt{1 - \tfrac{1}{36}}}\Bigr)\times100\% = \exp\!\Bigl(-\frac{\pi}{\sqrt{35}}\Bigr)\times100\% \approx 58{,}9\%.

Passo 4

O tempo de subida t_{r} (0–100 %) para \zeta<0{,}7 pode ser aproximado por
t_{r} = \frac{\pi - \operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_{d}} = \frac{\pi - \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)}{\sqrt{35}} \approx 0,294\;\text{s}.

Passo 5

O tempo de acomodação t_{s} (critério 2 %) é
t_{s} \approx \frac{4}{\zeta\,\omega_{n}} = \frac{4}{\tfrac{1}{6}\cdot6} = 4\;\text{s}.

Resposta

t_{r}\approx0,294\;\text{s} t_{p}\approx0,531\;\text{s} M_{p}\approx58{,}9\% t_{s}\approx4\;\text{s}

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