[30 \%] Determine o ângulo e a magnitude de G H(2) para G H=\frac{K(s+1)}{s^{2}(s+3, \sigma)}. Quais valores de K satisfazem |G H(2)|=1 ? Desejamos que o lugar das raízes passe pelo ponto s_{0}=-1+1 j. É necessário utilizar um controlador para esse propósito? Caso seja necessário, qual tipo você utilizaria? Por qual motivo?

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G H(s) = \frac{K\,(s+1)}{s^{2}\,(s+3)}
e pede, em s=2:
– a magnitude e o ângulo de G H(2);
– os valores de K tais que \lvert G H(2)\rvert=1.
Depois, queremos que o lugar das raízes passe por s_{0}=-1+1\,j e perguntar se precisamos de controlador para isso, e qual tipo usar. Para resolver, usamos as definições de magnitude e ângulo de função de transferência e as condições do lugar das raízes (condição de módulo e condição de ângulo).

Passo 2

Calcular G H(2) em termos de K. Substituindo s=2:
G H(2) = \frac{K\,(2+1)}{2^{2}\,(2+3)} = \frac{3\,K}{4\cdot5} = \frac{3\,K}{20}.
Como 2 está no semieixo real positivo, todos os vetores (zero em -1 e polos em 0 duplo e em -3) formam ângulo zero. Logo:
– magnitude:
\lvert G H(2)\rvert = \frac{3\,\lvert K\rvert}{20},
– ângulo:
\angle G H(2) = 0^\circ.

Passo 3

Para satisfazer \lvert G H(2)\rvert=1 basta impor
\frac{3\,\lvert K\rvert}{20} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert K\rvert = \frac{20}{3}.
Adotando K>0, temos
K = \frac{20}{3}.

Passo 4

Agora, para o ponto s_{0}=-1+1\,j, calculamos o ângulo de G H(s_{0}).
– zero em -1:
\angle(s_{0}+1) = \angle\bigl((-1+1\,j)+1\bigr) = \angle(1\,j)=+90^\circ.
– dois polos na origem:
2\;\angle(s_{0}-0) =2\;\angle(-1+1\,j) =2\cdot135^\circ=270^\circ.
– polo em -3:
\angle(s_{0}+3) =\angle\bigl((-1+1\,j)+3\bigr) =\angle(2+1\,j)\approx26{,}565^\circ.
Somando vetores (zero com sinal +, polos com sinal –):
\angle G H(s_{0}) = 90^\circ - (270^\circ + 26{,}565^\circ) = -206{,}565^\circ \equiv 153{,}435^\circ\pmod{360}.
Para que s_{0} esteja no lugar das raízes, precisamos
\angle G H(s_{0}) = (2k+1)\,180^\circ,
isto é 180^\circ mod 360^\circ. Mas calculamos 153{,}435^\circ\neq180^\circ.

Passo 5

Como a condição de ângulo não é satisfeita, é necessário introduzir um controlador que forneça a fase extra
180^\circ - 153{,}435^\circ \approx 26{,}565^\circ.
Para acrescentar esse avanço de fase em torno de s_{0}, escolhemos um compensador de avanço de fase (lead), pois ele adiciona fase positiva na faixa de frequência de interesse, deslocando o lugar das raízes até o ponto desejado.

Resposta

Magnitude e ângulo em s=2:
\lvert G H(2)\rvert = \frac{3\,\lvert K\rvert}{20},\quad \angle G H(2) = 0^\circ.
Para \lvert G H(2)\rvert=1:
K = \frac{20}{3}.
Para que o lugar das raízes passe por s_{0}=-1+1\,j a condição de ângulo não é atendida, então é necessário usar um controlador de avanço de fase.

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