Determine o ângulo e a magnitude de
para
. Quais valores de
satisfazem
? Desejamos que o lugar das raízes passe pelo ponto
. É necessário utilizar um controlador para esse propósito? Caso seja necessário, qual tipo você utilizaria? Por qual motivo?
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede, em
:
– a magnitude e o ângulo de ;
– os valores de tais que
.
Depois, queremos que o lugar das raízes passe por e perguntar se precisamos de controlador para isso, e qual tipo usar. Para resolver, usamos as definições de magnitude e ângulo de função de transferência e as condições do lugar das raízes (condição de módulo e condição de ângulo).
– a magnitude e o ângulo de
– os valores de
Depois, queremos que o lugar das raízes passe por
Passo 2
Calcular
em termos de
. Substituindo
:
Como
está no semieixo real positivo, todos os vetores (zero em
e polos em
duplo e em
) formam ângulo zero. Logo:
– magnitude:
– magnitude:
– ângulo:
Passo 3
Para satisfazer
basta impor
Adotando
, temos
Passo 4
Agora, para o ponto
, calculamos o ângulo de
.
– zero em :
– zero em
– dois polos na origem:
– polo em
:
Somando vetores (zero com sinal +, polos com sinal –):
Para que
esteja no lugar das raízes, precisamos
isto é
mod
. Mas calculamos
.
Passo 5
Como a condição de ângulo não é satisfeita, é necessário introduzir um controlador que forneça a fase extra
Para acrescentar esse avanço de fase em torno de
, escolhemos um compensador de avanço de fase (lead), pois ele adiciona fase positiva na faixa de frequência de interesse, deslocando o lugar das raízes até o ponto desejado.
Resposta
Magnitude e ângulo em
:
Para
:
Para que o lugar das raízes passe por
a condição de ângulo não é atendida, então é necessário usar um controlador de avanço de fase.