Questão 4 Resposta salva Vale 2,00 ponto(s). P Marcar questão
O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda \Psi_{n, l, m_{l}, m_{s}}(r, \theta, \varphi), onde n, l, m_{l} e m_{s} são os números quânticos e r, \theta e \varphi são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por E_{n}=-\frac{k e^{2}}{2 a_{0}} \frac{1}{n^{2}}. Quantos estados quânticos de ocupação existem para n=5 levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos estados quânticos de ocupação existem para n=5 levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?”
Informações dadas pelo enunciado: a função de onda depende dos números quânticos n, l, m_{l} e m_{s}, e foi dada a energia E_{n}=-\frac{k e^{2}}{2 a_{0}}\frac{1}{n^{2}}. O valor fixo que nos interessa é n=5.
Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e quais dados do enunciado são relevantes.

Passo 2

Entendendo o que cada número quântico representa (explicação didática e necessária para contar estados):
  • \,n é o número quântico principal e já está fixado em \,n=5. Ele determina a “camada” ou nível energético.
  • \,l é o número quântico azimutal (ou orbital) e, para cada valor de \,n, os valores permitidos de \,l são inteiros de
l=0,1,2,\dots,n-1.
Expliquei: isso significa que para \,n=5 teremos possíveis \,l=0,1,2,3,4.
  • \,m_{l} é o número quântico magnético: para cada \,l ele pode assumir os valores inteiros
m_{l}=-l,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,l,
ou seja, há exatamente 2l+1 possibilidades de \,m_{l} para um dado \,l. Eu explico: conte os inteiros de -l a +l; isso dá l negativos, l positivos e o zero, total 2l+1.
  • \,m_{s} é o número quântico de spin do elétron. Como elétron é spin- \tfrac{1}{2}, as possibilidades de \,m_{s} são
m_{s}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{2},
ou seja, 2 possibilidades. Eu ressalto: isso dobra o número de estados de cada orbital espacial, porque cada orbital pode conter o elétron com um dos dois spins.

Passo 3

Agora vamos montar a contagem de estados para um dado n. Para cada valor de l 2l+1 valores de m_{l}. Para cada par (l,m_{l}) existem 2 valores de m_{s}. Logo, o número de estados associados a um valor fixo de l é
\text{estados por }l = (2l+1)\times 2.
Isso é só multiplicar as possibilidades independentes: escolhas de m_{l} vezes escolhas de m_{s}.

Passo 4

Para obter o total no nível n devemos somar sobre todos os l possíveis:
\text{total}=\sum_{l=0}^{n-1} 2(2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1).
Agora calculamos a soma interna \sum_{l=0}^{n-1}(2l+1). Faço isso passo a passo:
\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1}l+\sum_{l=0}^{n-1}1.
Sabemos que \sum_{l=0}^{n-1}l=\dfrac{(n-1)n}{2} (fórmula da soma dos primeiros inteiros) e \sum_{l=0}^{n-1}1=n. Substituindo:
\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+n = n(n-1)+n = n^{2}.
Portanto a soma dos multiplicadores espaciais dá n^{2}. Isso é um fato clássico: há n^{2} orbitais (valores distintos de l,m_{l}) na camada n.

Passo 5

Voltando ao total de estados, substituímos:
\text{total}=2\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2\cdot n^{2}=2n^{2}.
Isso significa que, para cada nível principal n, o número total de estados (contando spin) é 2n^{2}.

Passo 6

Agora aplicamos para n=5:
\text{total}=2\cdot 5^{2}=2\cdot 25=50.
Para ficar bem explícito e didático, podemos checar somando por l:
  • l=0: 2l+1=1 orbital \Rightarrow com spin 1\times 2=2 estados;
  • l=1: 2l+1=3 orbitais \Rightarrow 3\times 2=6 estados;
  • l=2: 2l+1=5 orbitais \Rightarrow 5\times 2=10 estados;
  • l=3: 2l+1=7 orbitais \Rightarrow 7\times 2=14 estados;
  • l=4: 2l+1=9 orbitais \Rightarrow 9\times 2=18 estados.
    Somando 2+6+10+14+18=50, confirmando o resultado.

Resposta

50 estados quânticos

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