Questão 4 Resposta salva Vale 2,00 ponto(s). P Marcar questão
O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
, onde
e
são os números quânticos e
e
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?”
Informações dadas pelo enunciado: a função de onda depende dos números quânticos ,
,
e
, e foi dada a energia
. O valor fixo que nos interessa é
.
Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e quais dados do enunciado são relevantes.
Informações dadas pelo enunciado: a função de onda depende dos números quânticos
Não resolvo nada aqui; só deixei claro o que é pedido e quais dados do enunciado são relevantes.
Passo 2
Entendendo o que cada número quântico representa (explicação didática e necessária para contar estados):
-
é o número quântico principal e já está fixado em . Ele determina a “camada” ou nível energético. -
é o número quântico azimutal (ou orbital) e, para cada valor de , os valores permitidos de são inteiros de
Expliquei: isso significa que para
teremos possíveis
.
-
é o número quântico magnético: para cada ele pode assumir os valores inteiros
ou seja, há exatamente
possibilidades de
para um dado
. Eu explico: conte os inteiros de
a
; isso dá
negativos,
positivos e o zero, total
.
-
é o número quântico de spin do elétron. Como elétron é spin- , as possibilidades de são
ou seja,
possibilidades. Eu ressalto: isso dobra o número de estados de cada orbital espacial, porque cada orbital pode conter o elétron com um dos dois spins.
Passo 3
Agora vamos montar a contagem de estados para um dado
. Para cada valor de
há
valores de
. Para cada par
existem
valores de
. Logo, o número de estados associados a um valor fixo de
é
Isso é só multiplicar as possibilidades independentes: escolhas de
vezes escolhas de
.
Passo 4
Para obter o total no nível
devemos somar sobre todos os
possíveis:
Agora calculamos a soma interna
. Faço isso passo a passo:
Sabemos que
(fórmula da soma dos primeiros inteiros) e
. Substituindo:
Portanto a soma dos multiplicadores espaciais dá
. Isso é um fato clássico: há
orbitais (valores distintos de
) na camada
.
Passo 5
Voltando ao total de estados, substituímos:
Isso significa que, para cada nível principal
, o número total de estados (contando spin) é
.
Passo 6
Agora aplicamos para
:
Para ficar bem explícito e didático, podemos checar somando por
:
-
: orbital com spin estados; -
: orbitais estados; -
: orbitais estados; -
: orbitais estados; -
: orbitais estados.
Somando, confirmando o resultado.