( 20 pontos) Considere a curva dada pela equação: 25 x^{2}+y^{2}=50
(a) (15 pontos) Supondo y=f(x). Calcule \frac{d y}{d x}.
(b) ( 5 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,5)
Passo 1
O enunciado fornece a curva definida pela equação
25x^{2}+y^{2}=50
e pede duas coisas:
(a) Supondo y=f(x), calcular \dfrac{dy}{dx}.
(b) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (1,5).
Informações relevantes dadas:
A relação entre x e y é \;25x^{2}+y^{2}=50.
O ponto onde se pede a reta tangente é (1,5), que satisfaz a equação da curva (verificação rápida: 25\cdot1^{2}+5^{2}=25+25=50).
Passo 2
Ideia para (a): como y depende de x (isto é, y=f(x)), vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aqui entra o princípio da diferenciação implícita: quando temos uma expressão em y (por exemplo y^{2}), ao derivar em relação a x devemos aplicar a regra da cadeia, porque y é função de x.
Regra da cadeia (lembrando): se u(x) é uma função de x, então a derivada de u(x)^{2} é
Agora diferenciamos a equação \;25x^{2}+y^{2}=50 termo a termo em relação a x.
Derivada de 25x^{2} em relação a x é 50x porque \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e 25\cdot 2x=50x.
Derivada de y^{2} é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia explicada.
Derivada de 50 (constante) é 0.
Portanto, diferenciando:
50x + 2y\cdot\frac{dy}{dx} = 0.
Passo 4
Isolamos \dfrac{dy}{dx} na equação obtida:
2y\cdot\frac{dy}{dx} = -50x
\frac{dy}{dx} = \frac{-50x}{2y} = -\frac{25x}{y}.
Observação importante: essa fórmula só é válida quando y\neq 0. Se y=0 em algum ponto da curva, o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} seria zero e a derivada pode ser inexistente (possível reta tangente vertical). No entanto, no ponto pedido (1,5) temos y=5\neq0, então não há problema.
Extra (checagem alternativa): poderíamos ter resolvido explicitamente para y (duas ramas)
y=\pm\sqrt{50-25x^{2}}= \pm 5\sqrt{2-x^{2}},
e derivado usando a regra da cadeia para obter o mesmo resultado \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{25x}{y}. Isso confirma que a expressão obtida por diferenciação implícita é correta para ambas as ramas (com y substituindo o sinal correspondente).
Passo 5
Agora (b): calcular a inclinação da reta tangente no ponto (1,5) usando a fórmula da derivada.
Aplicando \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{25x}{y} em x=1 e y=5: