( 20 pontos) Considere a curva dada pela equação: 25 x^{2}+y^{2}=50
(a) (15 pontos) Supondo y=f(x). Calcule \frac{d y}{d x}.
(b) ( 5 pontos) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,5)

Passo 1

O enunciado fornece a curva definida pela equação
25x^{2}+y^{2}=50
e pede duas coisas:
  • (a) Supondo y=f(x), calcular \dfrac{dy}{dx}.
  • (b) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (1,5).
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x e y é \;25x^{2}+y^{2}=50.
  • O ponto onde se pede a reta tangente é (1,5), que satisfaz a equação da curva (verificação rápida: 25\cdot1^{2}+5^{2}=25+25=50).

Passo 2

Ideia para (a): como y depende de x (isto é, y=f(x)), vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aqui entra o princípio da diferenciação implícita: quando temos uma expressão em y (por exemplo y^{2}), ao derivar em relação a x devemos aplicar a regra da cadeia, porque y é função de x.
Regra da cadeia (lembrando): se u(x) é uma função de x, então a derivada de u(x)^{2} é
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{2}\big)=2\,u(x)\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=y(x), logo
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora diferenciamos a equação \;25x^{2}+y^{2}=50 termo a termo em relação a x.
  • Derivada de 25x^{2} em relação a x é 50x porque \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e 25\cdot 2x=50x.
  • Derivada de y^{2} é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia explicada.
  • Derivada de 50 (constante) é 0.
Portanto, diferenciando:
50x + 2y\cdot\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx} na equação obtida:
2y\cdot\frac{dy}{dx} = -50x
\frac{dy}{dx} = \frac{-50x}{2y} = -\frac{25x}{y}.
Observação importante: essa fórmula só é válida quando y\neq 0. Se y=0 em algum ponto da curva, o coeficiente de \dfrac{dy}{dx} seria zero e a derivada pode ser inexistente (possível reta tangente vertical). No entanto, no ponto pedido (1,5) temos y=5\neq0, então não há problema.
Extra (checagem alternativa): poderíamos ter resolvido explicitamente para y (duas ramas)
y=\pm\sqrt{50-25x^{2}}= \pm 5\sqrt{2-x^{2}},
e derivado usando a regra da cadeia para obter o mesmo resultado \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{25x}{y}. Isso confirma que a expressão obtida por diferenciação implícita é correta para ambas as ramas (com y substituindo o sinal correspondente).

Passo 5

Agora (b): calcular a inclinação da reta tangente no ponto (1,5) usando a fórmula da derivada.
Aplicando \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{25x}{y} em x=1 e y=5:
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,5)} = -\frac{25\cdot 1}{5} = -5.
Equação da reta tangente no ponto (x_{0},y_{0})=(1,5) com coeficiente angular m=-5 usa a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo:
y-5 = -5(x-1).
Desenvolvendo:
y-5 = -5x+5 \quad\Rightarrow\quad y = -5x+10.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{25x}{y}\n
(b) \displaystyle y=-5x+10

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