(10 pontos) Seja a função
.
(a) ( 5 pontos) Verifique se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo
.
(b) (5 pontos) Mostre que existe
tal que
.
(a) ( 5 pontos) Verifique se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo
(b) (5 pontos) Mostre que existe
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) é aplicável no intervalo
. - (b) Mostrar que existe
tal que .
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Não há outras restrições nem valores adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos recordar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM) de forma clara e prática.
Enunciado do TVM:
Se uma função é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
tal que
Se uma função
Explicando com calma o que cada símbolo significa:
-
é a derivada de no ponto , isto é, a inclinação da reta tangente em . -
é a taxa média de variação de no intervalo — a inclinação da secante que liga a . - As hipóteses (continuidade em
e diferenciabilidade em ) são essenciais: sem elas o TVM não garante nada.
No nosso caso vamos usar
,
e
. Primeiro ver se as hipóteses do TVM valem para
em
.
Passo 3
Verificação das hipóteses do TVM para
.
-
Propriedade útil: todo polinômio é contínuo em
e também diferenciável em . Então, em particular, é contínua em e diferenciável em . (Isto vem da regra básica: soma de funções contínuas/diferenciáveis é contínua/diferenciável; monômio tem derivada .) -
Para completar a verificação prática, podemos calcular os valores da função nas extremidades:
Portanto, as hipóteses do TVM estão satisfeitas no intervalo
. Isso responde a parte (a): o TVM é aplicável.
Passo 4
Cálculo da derivada
(para usar no passo seguinte e também para aprender a regra).
Usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Podemos fatorar, se quisermos:
Este cálculo mostra explicitamente a forma de
para qualquer
.
Passo 5
Aplicação direta do TVM para concluir a parte (b).
Pelo TVM, existe
tal que
Logo existe pelo menos um
com
. Isso responde a parte (b).
Como comentário adicional (útil em prova): poderíamos também ver a existência de
usando o Teorema do Valor Intermediário aplicado à função
, porque
e
, e
é contínua; então por continuidade existe
com
. Essa é uma alternativa que fornece a mesma conclusão e às vezes ajuda a entender a localização do ponto
.
Resposta
(a) Sim.
é polinômio, logo contínua em
e diferenciável em
; portanto o Teorema do Valor Médio é aplicável.
(b) Existe tal que
(pela aplicação do Teorema do Valor Médio, pois
).
(b) Existe