(10 pontos) Seja a função f(x)=x^{6}+x^{3}.
(a) ( 5 pontos) Verifique se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo [0,1].
(b) (5 pontos) Mostre que existe c \in(0,1) tal que f^{\prime}\text{(c)}=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{6}+x^{3} e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) é aplicável no intervalo [0,1].
  • (b) Mostrar que existe c\in(0,1) tal que f'\text{(c)}=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{6}+x^{3}.
  • O intervalo considerado é [0,1].
  • Não há outras restrições nem valores adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos recordar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM) de forma clara e prática.
Enunciado do TVM:
Se uma função g é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
Explicando com calma o que cada símbolo significa:
  • g'\text{(c)} é a derivada de g no ponto c, isto é, a inclinação da reta tangente em c.
  • \dfrac{g(b)-g(a)}{b-a} é a taxa média de variação de g no intervalo [a,b] — a inclinação da secante que liga (a,g(a)) a (b,g(b)).
  • As hipóteses (continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b)) são essenciais: sem elas o TVM não garante nada.
No nosso caso vamos usar g=f, a=0 e b=1. Primeiro ver se as hipóteses do TVM valem para f em [0,1].

Passo 3

Verificação das hipóteses do TVM para f(x)=x^{6}+x^{3}.
  • Propriedade útil: todo polinômio é contínuo em \mathbb{R} e também diferenciável em \mathbb{R}. Então, em particular, f é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1). (Isto vem da regra básica: soma de funções contínuas/diferenciáveis é contínua/diferenciável; monômio x^n tem derivada n x^{n-1}.)
  • Para completar a verificação prática, podemos calcular os valores da função nas extremidades:
f(0)=0^{6}+0^{3}=0, \qquad f(1)=1^{6}+1^{3}=1+1=2.
Portanto, as hipóteses do TVM estão satisfeitas no intervalo [0,1]. Isso responde a parte (a): o TVM é aplicável.

Passo 4

Cálculo da derivada f'(x) (para usar no passo seguinte e também para aprender a regra).
Usamos a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=6x^{5}+3x^{2}.
Podemos fatorar, se quisermos:
f'(x)=3x^{2}(2x^{3}+1).
Este cálculo mostra explicitamente a forma de f' para qualquer x.

Passo 5

Aplicação direta do TVM para concluir a parte (b).
Pelo TVM, existe c\in(0,1) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{2-0}{1}=2.
Logo existe pelo menos um c\in(0,1) com f'\text{(c)}=2. Isso responde a parte (b).
Como comentário adicional (útil em prova): poderíamos também ver a existência de c usando o Teorema do Valor Intermediário aplicado à função f', porque f'(0)=0<2 e f'(1)=6\cdot1^{5}+3\cdot1^{2}=9>2, e f' é contínua; então por continuidade existe c\in(0,1) com f'\text{(c)}=2. Essa é uma alternativa que fornece a mesma conclusão e às vezes ajuda a entender a localização do ponto c.

Resposta

(a) Sim. f é polinômio, logo contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1); portanto o Teorema do Valor Médio é aplicável.
(b) Existe c\in(0,1) tal que f'\text{(c)}=2 (pela aplicação do Teorema do Valor Médio, pois \dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=2).

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