(20 pontos) Considere a elipse de centro C=(4,3), um vértice no ponto A=(0,3) e um vértice no ponto B=(4,0). Encontre a equação cartesiana desta elipse. Determine as coordenadas dos demais vértices, as coordenadas dos focos e calcule a excentricidade desta elipse.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Centro C=(4,3).
    • Um vértice A=(0,3).
    • Um vértice B=(4,0).
  • O que o enunciado pede:
    1. A equação cartesiana da elipse.
    2. As coordenadas dos demais vértices (os vértices que não foram dados).
    3. As coordenadas dos focos.
    4. A excentricidade da elipse.

Passo 2

Entender a posição e os semi-eixos a partir dos dados (explicação didática).
  • Observação importante: se um ponto tem a mesma ordenada (mesmo y) que o centro, ele está sobre a direção horizontal que passa pelo centro; se tem a mesma abscissa (mesmo x), está sobre a direção vertical que passa pelo centro. Aqui:
    • A=(0,3) tem y=3, mesma ordenada do centro C=(4,3). Logo A está sobre a direção horizontal centrada em C.
    • B=(4,0) tem x=4, mesma abscissa do centro C. Logo B está sobre a direção vertical centrada em C.
  • Conclusão: os eixos principais da elipse são alinhados com os eixos coordenados (horizontal e vertical) e os semi-eixos estão nas direções x e y.
  • Agora calcular os comprimentos dos semi-eixos:
    • Distância horizontal do centro a A: |0-4|=4. Portanto o semi-eixo na direção x vale 4.
    • Distância vertical do centro a B: |0-3|=3. Portanto o semi-eixo na direção y vale 3.
  • Definições usadas (explicando a fórmula padrão):
    • Para uma elipse centrada em (h,k) e alinhada aos eixos coordenados, a equação padrão é \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,onde a e b são os semi-eixos nas direções x e y, respectivamente. Por convenção a é o semi-eixo maior (isto é, a\ge b). Aqui encontramos a=4 (horizontal) e b=3 (vertical), porque 4>3.

Passo 3

Escrever a equação substituindo centro e semi-eixos (passo a passo).
  • Centro (h,k)=(4,3), a=4 e b=3.
  • Substituindo na forma padrão: \frac{(x-4)^2}{4^2}+\frac{(y-3)^2}{3^2}=1.
  • Simplificando os quadrados: \frac{(x-4)^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{9}=1.

Passo 4

Determinar todos os vértices da elipse (explicação e cálculo).
  • Para uma elipse centrada em (h,k) com semi-eixos a (horizontal) e b (vertical), os quatro vértices são:
    • Vértices horizontais: (h\pm a,\,k).
    • Vértices verticais: (h,\,k\pm b).
  • Aplicando com h=4, k=3, a=4, b=3:
    • Vértices horizontais: (4-4,\,3)=(0,3) e (4+4,\,3)=(8,3).
    • Vértices verticais: (4,\,3-3)=(4,0) e (4,\,3+3)=(4,6).
  • Observação: os vértices dados A=(0,3) e B=(4,0) aparecem aqui; os “demais vértices” (os que faltavam) são (8,3) e (4,6).

Passo 5

Calcular os focos (explicação da relação entre a,b,c).
  • Para uma elipse com semi-eixo maior a e semi-minor b, os focos estão separados do centro por uma distância c tal que c^2 = a^2 - b^2.Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois pontos fixos é constante) e é uma propriedade padrão das elipses alinhadas com os eixos.
  • Calcular c: c^2 = a^2 - b^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7.Assim c=\sqrt{7}.
  • Como o eixo maior é horizontal (semi-eixo a na direção x), os focos ficam em (h\pm c,\,k).
  • Substituindo h=4, k=3, c=\sqrt{7}, obtemos os focos: \bigl(4-\sqrt{7},\,3\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(4+\sqrt{7},\,3\bigr).

Passo 6

Calcular a excentricidade (definição e substituição).
  • Definição: a excentricidade e de uma elipse é e=\frac{c}{a},onde c é a distância do centro a cada foco e a é o semi-eixo maior.
  • Substituindo c=\sqrt{7} e a=4: e=\frac{\sqrt{7}}{4}.
  • Aproximação numérica (para intuição): \sqrt{7}\approx2{,}6458, então e\approx0{,}6614.

Passo 7

Verificação rápida (substituir os vértices na equação para conferência).
  • Substituir A=(0,3) na equação: \frac{(0-4)^2}{16}+\frac{(3-3)^2}{9}=\frac{16}{16}+0=1.
  • Substituir B=(4,0): \frac{(4-4)^2}{16}+\frac{(0-3)^2}{9}=0+\frac{9}{9}=1.
  • Ambos satisfazem a equação, conferindo coerência.

Resposta

\frac{(x-4)^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{9}=1
Demais vértices: (8,3) e (4,6)
Focos: \bigl(4-\sqrt{7},\,3\bigr) e \bigl(4+\sqrt{7},\,3\bigr)
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx0{,}6614

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