(20 pontos) Considere a elipse de centro
, um vértice no ponto
e um vértice no ponto
. Encontre a equação cartesiana desta elipse. Determine as coordenadas dos demais vértices, as coordenadas dos focos e calcule a excentricidade desta elipse.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados fornecidos:
- Centro
. - Um vértice
. - Um vértice
.
- Centro
-
O que o enunciado pede:
- A equação cartesiana da elipse.
- As coordenadas dos demais vértices (os vértices que não foram dados).
- As coordenadas dos focos.
- A excentricidade da elipse.
Passo 2
Entender a posição e os semi-eixos a partir dos dados (explicação didática).
- Observação importante: se um ponto tem a mesma ordenada (mesmo
) que o centro, ele está sobre a direção horizontal que passa pelo centro; se tem a mesma abscissa (mesmo ), está sobre a direção vertical que passa pelo centro. Aqui: -
tem , mesma ordenada do centro . Logo está sobre a direção horizontal centrada em . -
tem , mesma abscissa do centro . Logo está sobre a direção vertical centrada em .
-
- Conclusão: os eixos principais da elipse são alinhados com os eixos coordenados (horizontal e vertical) e os semi-eixos estão nas direções
e . - Agora calcular os comprimentos dos semi-eixos:
- Distância horizontal do centro a
: . Portanto o semi-eixo na direção vale . - Distância vertical do centro a
: . Portanto o semi-eixo na direção vale .
- Distância horizontal do centro a
- Definições usadas (explicando a fórmula padrão):
- Para uma elipse centrada em
e alinhada aos eixos coordenados, a equação padrão é onde e são os semi-eixos nas direções e , respectivamente. Por convenção é o semi-eixo maior (isto é, ). Aqui encontramos (horizontal) e (vertical), porque .
- Para uma elipse centrada em
Passo 3
Escrever a equação substituindo centro e semi-eixos (passo a passo).
- Centro
, e . - Substituindo na forma padrão:
- Simplificando os quadrados:
Passo 4
Determinar todos os vértices da elipse (explicação e cálculo).
- Para uma elipse centrada em
com semi-eixos (horizontal) e (vertical), os quatro vértices são: - Vértices horizontais:
. - Vértices verticais:
.
- Vértices horizontais:
- Aplicando com
, , , : - Vértices horizontais:
e . - Vértices verticais:
e .
- Vértices horizontais:
- Observação: os vértices dados
e aparecem aqui; os “demais vértices” (os que faltavam) são e .
Passo 5
Calcular os focos (explicação da relação entre
).
- Para uma elipse com semi-eixo maior
e semi-minor , os focos estão separados do centro por uma distância tal que Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois pontos fixos é constante) e é uma propriedade padrão das elipses alinhadas com os eixos. - Calcular
: Assim . - Como o eixo maior é horizontal (semi-eixo
na direção ), os focos ficam em . - Substituindo
, , , obtemos os focos:
Passo 6
Calcular a excentricidade (definição e substituição).
- Definição: a excentricidade
de uma elipse é onde é a distância do centro a cada foco e é o semi-eixo maior. - Substituindo
e : - Aproximação numérica (para intuição):
, então .
Passo 7
Verificação rápida (substituir os vértices na equação para conferência).
- Substituir
na equação: - Substituir
: - Ambos satisfazem a equação, conferindo coerência.
Resposta
Demais vértices:
e
Focos: e
Excentricidade:
Focos:
Excentricidade: