(16 pontos) Encontre a equação reduzida e identifique a cônica cuja equação geral é:
x^{2}-2 y^{2}-2 x+4 y-5=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a equação reduzida da cônica dada e (2) identificar qual a cônica (com seus parâmetros principais). A equação fornecida é
x^{2}-2 y^{2}-2 x+4 y-5=0.
Vou listar as quantidades importantes que já estão no enunciado:
  • Coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0: A=1,\quad B=0,\quad C=-2,\quad D=-2,\quad E=4,\quad F=-5.
  • O que é pedido: (i) equação reduzida (forma canônica) e (ii) identificação da cônica (tipo, centro, vértices, focos, assíntotas etc.).

Passo 2

Classificação da cônica pela discriminante (fórmula e uso).
  • Para a forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0 define-se o discriminante \Delta = B^{2}-4AC.Interpretação rápida: se \Delta>0 temos hipérbole; \Delta=0 parábola; \Delta<0 elipse (ou circunferência se A=C e B=0).
  • Calculando no caso: \Delta = 0^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=8>0.
  • Conclusão: a cônica é uma hipérbole (porque \Delta>0).

Passo 3

Redução por completar quadrados (explicando o procedimento).
  • Ideia: agrupar termos em x e em y e completar quadrados para escrever como diferença de quadrados deslocada.
  • Começo reescrevendo a equação e agrupando: x^{2}-2x \;-\; 2\bigl(y^{2}-2y\bigr)\; -5 = 0.
  • Completar o quadrado em x: para x^{2}-2x adiciona-se e subtrai-se 1 pois (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
  • Completar o quadrado em y: para y^{2}-2y adiciona-se e subtrai-se 1 pois (y-1)^{2}=y^{2}-2y+1.
  • Aplicando isso cuidadosamente (lembrando do fator -2 que multiplica o bloco em y): \begin{aligned} x^{2}-2x & = (x-1)^{2}-1,\\[4pt] -2\bigl(y^{2}-2y\bigr) & = -2\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = -2(y-1)^{2}+2. \end{aligned}
  • Substituindo na equação: (x-1)^{2}-1 \;+\; \bigl(-2(y-1)^{2}+2\bigr) \;-\;5 = 0.
  • Somando as constantes: -1+2-5=-4. Logo (x-1)^{2}-2(y-1)^{2}-4=0.]

Passo 4

Obter a forma reduzida padrão da hipérbole.
  • Isolar a parte quadrática e dividir pelo número do lado direito para obter o formato \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 (hipérbole com eixo transverso paralelo a x): (x-1)^{2}-2(y-1)^{2}=4.
  • Dividindo ambos os lados por 4: \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{2}=1.
  • Essa é a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole com centro em (1,1).

Passo 5

Interpretar os parâmetros da hipérbole (explicando o que é cada letra).
  • A forma padrão da hipérbole com centro (h,k) e eixo transverso horizontal é \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,onde:
    • a^{2} é o termo sob (x-h)^{2} (define semi-eixo transverso), então \,a^{2}=4 e \,a=2.
    • b^{2} é o termo sob (y-k)^{2} (define semi-eixo conjugado), então \,b^{2}=2 e \,b=\sqrt{2}.
    • As vértices estão em (h\pm a,\,k) (porque o eixo transverso é horizontal aqui).
    • A distância focal c satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2} para hipérboles; então c^{2}=4+2=6 e c=\sqrt{6}.
  • Aplicando ao nosso caso ( h=1,\;k=1):
    • Centro: \,(1,1).
    • a^{2}=4,\;b^{2}=2,\;a=2,\;b=\sqrt{2}.
    • Vértices: \,(1\pm2,\,1), isto é \,(-1,1) e (3,1).
    • Focos: \,(1\pm\sqrt{6},\,1).

Passo 6

Equações das assíntotas e orientação da hipérbole.
  • Para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são retas passando pelo centro: y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
  • Substituindo a=2 e b=\sqrt{2}: y-1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1).
  • A hipérbole abre para a esquerda e para a direita (eixo transverso paralelo ao eixo x) porque o sinal positivo está na parte do (x-1)^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{2}=1
Hipérbole centrada em (1,1), com a^{2}=4,\;b^{2}=2 (ou seja a=2,\;b=\sqrt{2}), vértices em (-1,1) e (3,1), focos em (1\pm\sqrt{6},\,1) e assíntotas y-1=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1).

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