(16 pontos) Encontre a equação reduzida e identifique a cônica cuja equação geral é:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a equação reduzida da cônica dada e (2) identificar qual a cônica (com seus parâmetros principais). A equação fornecida é
Vou listar as quantidades importantes que já estão no enunciado:
- Coeficientes da forma geral
: - O que é pedido: (i) equação reduzida (forma canônica) e (ii) identificação da cônica (tipo, centro, vértices, focos, assíntotas etc.).
Passo 2
Classificação da cônica pela discriminante (fórmula e uso).
- Para a forma geral
define-se o discriminante Interpretação rápida: se temos hipérbole; parábola; elipse (ou circunferência se e ). - Calculando no caso:
- Conclusão: a cônica é uma hipérbole (porque
).
Passo 3
Redução por completar quadrados (explicando o procedimento).
- Ideia: agrupar termos em
e em e completar quadrados para escrever como diferença de quadrados deslocada. - Começo reescrevendo a equação e agrupando:
- Completar o quadrado em
: para adiciona-se e subtrai-se pois . - Completar o quadrado em
: para adiciona-se e subtrai-se pois . - Aplicando isso cuidadosamente (lembrando do fator
que multiplica o bloco em ): - Substituindo na equação:
- Somando as constantes:
. Logo ]
Passo 4
Obter a forma reduzida padrão da hipérbole.
- Isolar a parte quadrática e dividir pelo número do lado direito para obter o formato
(hipérbole com eixo transverso paralelo a ): - Dividindo ambos os lados por
: - Essa é a equação reduzida (forma canônica) da hipérbole com centro em
.
Passo 5
Interpretar os parâmetros da hipérbole (explicando o que é cada letra).
- A forma padrão da hipérbole com centro
e eixo transverso horizontal é onde: -
é o termo sob (define semi-eixo transverso), então e . -
é o termo sob (define semi-eixo conjugado), então e . - As vértices estão em
(porque o eixo transverso é horizontal aqui). - A distância focal
satisfaz para hipérboles; então e .
-
- Aplicando ao nosso caso (
): - Centro:
. -
. - Vértices:
, isto é e . - Focos:
.
- Centro:
Passo 6
Equações das assíntotas e orientação da hipérbole.
- Para a forma
, as assíntotas são retas passando pelo centro: - Substituindo
e : - A hipérbole abre para a esquerda e para a direita (eixo transverso paralelo ao eixo
) porque o sinal positivo está na parte do .
Resposta
Hipérbole centrada em
, com
(ou seja
), vértices em
e
, focos em
e assíntotas
.