Qual é o menor número de elementos de um conjunto gerador de mathbb{C}^{2}, considerando-o como espaço vetorial sobre: mathbb{C};
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é o menor número de elementos de um conjunto gerador de \mathbb{C}^{2}, considerando-o como espaço vetorial sobre \mathbb{C}?”
Informações dadas:
O espaço vetorial é \mathbb{C}^{2}.
O corpo (campo de escalares) é \mathbb{C}.
Pergunta: determinar o menor número de vetores necessários para gerar todo \mathbb{C}^{2} (i.e., o menor cardinal de um conjunto S tal que \operatorname{span}(S)=\mathbb{C}^{2}).
Passo 2
O que significa “conjunto gerador” de um espaço vetorial?
Um conjunto S=\{v_1,\dots,v_k\}\subseteq\mathbb{C}^2 gera \mathbb{C}^2 se todo vetor w\in\mathbb{C}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.
Explicando devagar: cada \lambda_i é um número complexo; somando escalares vezes os vetores de S obtém-se todos os vetores do espaço se S for gerador.
Passo 3
Lembrete sobre base e dimensão (coisa que usamos para responder):
Uma base é um conjunto que gera o espaço e cujos vetores são linearmente independentes.
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base (todas as bases têm o mesmo número de elementos).
Esses conceitos implicam que o menor número possível de vetores que geram um espaço é justamente a dimensão do espaço. Então, para achar o menor número pedido, podemos determinar a dimensão de \mathbb{C}^2.
Passo 4
Mostrar que \mathbb{C}^2 tem dimensão 2 (construção explícita de uma base):
Considere os vetores padrão
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Qualquer vetor genérico em \mathbb{C}^2 é (z_1,z_2) com z_1,z_2\in\mathbb{C}. Veja que
(z_1,z_2)=z_1(1,0)+z_2(0,1)=z_1 e_1 + z_2 e_2.
Portanto \{e_1,e_2\} gera \mathbb{C}^2. Além disso e_1 e e_2 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial \alpha e_1+\beta e_2=0 com \alpha,\beta\in\mathbb{C} ocorre exceto \alpha=\beta=0), logo \{e_1,e_2\} é uma base. Conclusão: \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^2)=2.
Passo 5
Por que não é possível ter um conjunto gerador com apenas 1 elemento? (prova curta e intuitiva)
Se v\in\mathbb{C}^2 é um vetor qualquer, então \operatorname{span}(\{v\})=\{\lambda v\mid \lambda\in\mathbb{C}\} é uma reta passando pela origem — um subespaço de dimensão 1.
Mas \mathbb{C}^2 contém vetores que não estão nessa reta (por exemplo, se v não for múltiplo de (1,0), então (1,0) pode não estar; ou escolha dois vetores linearly independentes como (1,0) e (0,1)). Logo um único vetor não pode gerar todo \mathbb{C}^2.
Isso mostra que qualquer conjunto gerador tem pelo menos 2 elementos, e no passo anterior vimos que existem conjuntos geradores com exatamente 2 elementos.
Passo 6
Juntando tudo: existe um conjunto gerador de \mathbb{C}^2 com 2 elementos (por exemplo \{(1,0),(0,1)\}), e não existe conjunto gerador com apenas 1 elemento. Portanto o menor número de elementos de um conjunto gerador de \mathbb{C}^{2} (sobre \mathbb{C}) é 2. Força aí — esse tipo de pergunta sempre cai como exercício padrão: pensar em base padrão e na impossibilidade de uma reta cobrir todo o plano.