( 22 pontos) Considere o plano \pi: x+2 y+z+12=0 e o ponto P=(0,-1,2).
(a) Encontre a equação de reta passando por P e perpendicular ao plano \pi.
(b) Calcule a distância entre o ponto P e o plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • O plano \pi tem equação \;x+2y+z+12=0.
  • O ponto P é \;P=(0,-1,2).
O que é pedido:
(a) A equação da reta que passa por P e é perpendicular ao plano \pi.
(b) A distância entre o ponto P e o plano \pi.

Passo 2

Entendendo a reta perpendicular ao plano e obtendo sua equação.
  • Observação importante (informação direta da equação do plano): os coeficientes da equação do plano \;x+2y+z+12=0 formam um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é
\mathbf{n}=(1,2,1).
  • Uma reta perpendicular ao plano deve ter direção paralela ao vetor normal \mathbf{n}. Ou seja, podemos usar \mathbf{n} como vetor diretor da reta.
  • A forma paramétrica de uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
x=x_0+v_1 t,\qquad y=y_0+v_2 t,\qquad z=z_0+v_3 t,
onde t é o parâmetro real. Aqui x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto da reta e v_1,v_2,v_3 os componentes do vetor diretor.
  • Aplicando com P=(0,-1,2) e \mathbf{v}=\mathbf{n}=(1,2,1), obtemos a equação paramétrica da reta procurada:
x=0+1\cdot t,\qquad y=-1+2\cdot t,\qquad z=2+1\cdot t.
  • Podemos também escrever a forma simétrica (quando os componentes do vetor diretor não são zero):
\frac{x-0}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}=t.

Passo 3

Resumo e interpretação da parte (a).
  • A reta perpendicular ao plano \pi que passa por P tem vetor diretor igual ao vetor normal \mathbf{n}=(1,2,1).
  • Equações finais da reta (duas formas úteis):
    • Forma paramétrica:
    x=t,\qquad y=-1+2t,\qquad z=2+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
    • Forma simétrica:
    \frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}.

Passo 4

Encontrando a distância do ponto P ao plano \pi: fórmula e derivação curta.
  • Fórmula conhecida (e que será usada): para um plano dado por \;ax+by+cz+d=0 e um ponto P=(x_0,y_0,z_0), a distância do ponto ao plano é
\text{dist}=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Intuição rápida da fórmula: toma-se qualquer ponto Q do plano, forma-se o vetor \overrightarrow{QP} e projeta-se esse vetor sobre o vetor normal (a,b,c). O comprimento da projeção (valor absoluto) é a distância mínima entre P e o plano.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso concreto e calculando passo a passo.
  • No nosso plano \pi temos a=1, b=2, c=1 e d=12. No ponto P temos (x_0,y_0,z_0)=(0,-1,2).
  • Calcular o numerador:
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot 0 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 12 = 0 -2 +2 +12 = 12.
  • Calcular o denominador (norma do vetor normal):
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
  • Portanto a distância é
\text{dist}=\frac{|12|}{\sqrt{6}}=\frac{12}{\sqrt{6}}.
  • Simplificando a fração racionalizando ou reduzindo:
\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}.

Resposta

(a) Equação da reta: x=t,\quad y=-1+2t,\quad z=2+t,\\ t\in\mathbb{R} (ou \dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}).
(b) Distância entre P e \pi: 2\sqrt{6}.

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