( 22 pontos) Considere o plano \pi: x+2 y+z+12=0 e o ponto P=(0,-1,2).
(a) Encontre a equação de reta passando por P e perpendicular ao plano \pi.
(b) Calcule a distância entre o ponto P e o plano \pi.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
O plano \pi tem equação \;x+2y+z+12=0.
O ponto P é \;P=(0,-1,2).
O que é pedido:
(a) A equação da reta que passa por P e é perpendicular ao plano \pi.
(b) A distância entre o ponto P e o plano \pi.
Passo 2
Entendendo a reta perpendicular ao plano e obtendo sua equação.
Observação importante (informação direta da equação do plano): os coeficientes da equação do plano \;x+2y+z+12=0 formam um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é
\mathbf{n}=(1,2,1).
Uma reta perpendicular ao plano deve ter direção paralela ao vetor normal \mathbf{n}. Ou seja, podemos usar \mathbf{n} como vetor diretor da reta.
A forma paramétrica de uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
Encontrando a distância do ponto P ao plano \pi: fórmula e derivação curta.
Fórmula conhecida (e que será usada): para um plano dado por \;ax+by+cz+d=0 e um ponto P=(x_0,y_0,z_0), a distância do ponto ao plano é
\text{dist}=\frac{\left|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Intuição rápida da fórmula: toma-se qualquer ponto Q do plano, forma-se o vetor \overrightarrow{QP} e projeta-se esse vetor sobre o vetor normal (a,b,c). O comprimento da projeção (valor absoluto) é a distância mínima entre P e o plano.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso concreto e calculando passo a passo.
No nosso plano \pi temos a=1, b=2, c=1 e d=12. No ponto P temos (x_0,y_0,z_0)=(0,-1,2).
Calcular o numerador:
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot 0 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 12 = 0 -2 +2 +12 = 12.
(a) Equação da reta: x=t,\quad y=-1+2t,\quad z=2+t,\\ t\in\mathbb{R} (ou \dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}).
(b) Distância entre P e \pi: 2\sqrt{6}.