[20 pontos] Considere a equação diferencial de segunda ordem
. (a) Verifique que
é um ponto ordinário da equação. Se
é uma solução em série de potências na vizinhança de
. Determine a relação de recorrência para os coeficientes dessa série.
(b) Escreva os seis primeiros termos da solução da equação diferencial quando
e
.
(b) Escreva os seis primeiros termos da solução da equação diferencial quando
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede (a) mostrar que
é ponto ordinário e obter a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências
e (b) escrever os seis primeiros termos de
quando
e
. Para isso vamos usar o método de série de potências em torno de um ponto ordinário.
Passo 2
Colocando a equação na forma padrão
vemos que
Ambas as funções
e
são analíticas em
, logo
é um ponto ordinário.
Passo 3
Assumimos
Substituindo em
e realinhando potências de
(trocando
no primeiro somatório) obtemos
Como a série deve anular para todo
, cada coeficiente satisfaz
válido para
.
Passo 4
Pelas condições iniciais:
Da recorrência
segue
Resposta
(a)
é ponto ordinário e a relação de recorrência é
(b) Os seis primeiros termos da solução com
,
são