[20 pontos] Considere a equação diferencial de segunda ordem y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}-4 y=0. (a) Verifique que x_{0}=0 é um ponto ordinário da equação. Se y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é uma solução em série de potências na vizinhança de x_{0}=0. Determine a relação de recorrência para os coeficientes dessa série.
(b) Escreva os seis primeiros termos da solução da equação diferencial quando y(0)=1 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 4x\,y' - 4y = 0
e pede (a) mostrar que x_0=0 é ponto ordinário e obter a relação de recorrência dos coeficientes de uma solução em série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
e (b) escrever os seis primeiros termos de y(x) quando y(0)=1 e y'(0)=1. Para isso vamos usar o método de série de potências em torno de um ponto ordinário.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0
vemos que
P(x) = -4x, \quad Q(x) = -4.
Ambas as funções P(x) e Q(x) são analíticas em x=0, logo x_0=0 é um ponto ordinário.

Passo 3

Assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n x^{n-2}.
Substituindo em y''-4x\,y'-4y=0 e realinhando potências de x (trocando n\to n+2 no primeiro somatório) obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2}-4(n+1)a_n\Bigr]x^n=0.
Como a série deve anular para todo x, cada coeficiente satisfaz
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-4(n+1)\,a_n=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=\frac{4\,a_n}{n+2},
válido para n\ge0.

Passo 4

Pelas condições iniciais:
y(0)=a_0=1, \qquad y'(0)=a_1=1.
Da recorrência a_{n+2}=4a_n/(n+2) segue
a_2=\frac{4a_0}{2}=2,\quad a_3=\frac{4a_1}{3}=\frac{4}{3},\quad a_4=\frac{4a_2}{4}=2,\quad a_5=\frac{4a_3}{5}=\frac{16}{15}.

Resposta

(a) x_0=0 é ponto ordinário e a relação de recorrência é
a_{n+2}=\frac{4\,a_n}{n+2},\quad n\ge0.
(b) Os seis primeiros termos da solução com y(0)=1, y'(0)=1 são
y(x)=1 + x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + 2x^4 + \frac{16}{15}x^5 + \cdots.

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