[20 pontos] (a) Encontre o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{5^{n}(n+1)}.
(b) Se uma certa série de potências centrada em x_{0}=2, isto é \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-2)^{n}, converge em x=3, é possível que seja divergente em x=3 / 2 ?
Passo 1
O enunciado trata de séries de potências centradas em x_{0}=2. No item (a) queremos o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{5^{n}(n+1)},
usando o Teste da Razão e verificando o comportamento nos extremos. No item (b) perguntam se, ao saber que uma outra série de potências centrada em 2 converge em x=3, ela pode divergir em x=3/2, explorando a propriedade do raio de convergência.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão à série do item (a). Seja