[20 pontos] (a) Encontre o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{5^{n}(n+1)}.
(b) Se uma certa série de potências centrada em x_{0}=2, isto é \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-2)^{n}, converge em x=3, é possível que seja divergente em x=3 / 2 ?

Passo 1

O enunciado trata de séries de potências centradas em x_{0}=2. No item (a) queremos o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{5^{n}(n+1)},
usando o Teste da Razão e verificando o comportamento nos extremos. No item (b) perguntam se, ao saber que uma outra série de potências centrada em 2 converge em x=3, ela pode divergir em x=3/2, explorando a propriedade do raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão à série do item (a). Seja
a_{n}=\frac{(x-2)^{n}}{5^{n}(n+1)}.
Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{5^{n+1}(n+2)}\cdot\frac{5^{n}(n+1)}{(x-2)^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-2|}{5}\,\frac{n+1}{n+2} =\frac{|x-2|}{5}.
O teste diz que converge se L<1, ou seja
\frac{|x-2|}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-2|<5.
Logo o raio de convergência é R=5 e a convergência absoluta vale para -3<x<7.

Passo 3

Agora examinamos os extremos:
  1. Em x=7 temos (x-2)=5, a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1},
que diverge como série harmônica.
2. Em x=-3 temos (x-2)=-5, a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-5)^{n}}{5^{n}(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1},
que converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada de Leibniz.
Portanto o intervalo de convergência é [-3,7).

Passo 4

No item (b), uma série de potências centrada em 2 tem raio R. Se ela converge em x=3, então
|3-2|=1\le R\quad\Longrightarrow\quad R\ge1.
Como x=3/2 fica a
\bigl|3/2-2\bigr|=\tfrac12<1\le R,
esse ponto está dentro do disco de convergência |x-2|<R, de modo que não pode divergir ali.

Resposta

(a) O intervalo de convergência é [-3,7).
(b) Não, não é possível divergir em x=3/2 se convergiu em x=3.

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