[20 pontos] Considere a equação de Cauchy - Euler x^{2} y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)+y(x)=0, para x>0.
(a) Mostre que y_{1}(x)=x é solução da equação diferencial.
(b) Encontre uma segunda solução y_{2}(x) para a equação [ Dica: Propor como solução \left.y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x)\right]. Use o Wronskiano para mostrar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''(x)-x\,y'(x)+y(x)=0,\quad x>0,
e pede (a) verificar que y_{1}(x)=x é solução e (b) encontrar uma segunda solução y_{2}(x) por redução de ordem, mostrando pelo Wronskiano que \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental.

Passo 2

Para (a), tomamos y_{1}(x)=x. Então
y_{1}'(x)=1,\qquad y_{1}''(x)=0.
Substituindo na equação:
x^{2}\cdot0 - x\cdot1 + x = -x + x = 0.
Logo \,y_{1}(x)=x satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Para (b), usamos redução de ordem. Escrevemos primeiro o ODE em forma padrão dividindo por x^{2}:
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^{2}}y = 0.
Propomos
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=u(x)\,x.
Substituímos e impomos a condição auxiliar u'(x)\,y_{1}(x)=u'(x)\,x para simplificar cálculo.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_{2}' = u'\,x + u\cdot1,\qquad y_{2}'' = u''\,x + 2u'.
Substituindo em
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^{2}}y=0
e usando y_{1} já resolvida, obtém-se uma equação de primeira ordem para u':
x\,u'' + 2u' - \frac{1}{x}(x\,u' + u) + \frac{1}{x^{2}}(x\,u)=0 \;\Longrightarrow\; x\,u'' +2u' - u' - \frac{u}{x} + \frac{u}{x} =0 \;\Longrightarrow\; x\,u'' + u'=0.
Fazendo v=u' x\,v'+v=0, i.e.
\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x}v=0.
Isto é uma equação linear cuja solução é
v = u' = \frac{C}{x}.

Passo 5

Integrando u'(x)=C/x vem
u(x)=C\ln(x)+D.
Podemos escolher C=1, D=0 para obter a segunda solução essencialmente distinta de y_{1}. Assim
y_{2}(x)=u(x)\,x = x\ln(x).

Passo 6

Calculamos o Wronskiano de y_{1} e y_{2}:
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x\ln(x)\\\\ 1 & \ln(x)+1 \end{vmatrix} = x(\ln(x)+1) - 1\cdot x\ln(x) = x.
Como x>0, temos W(x)\neq0. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

(a) y_{1}(x)=x é solução pois substituindo na equação obtém-se zero.
(b) Uma segunda solução é
y_{2}(x)=x\ln(x),
e o Wronskiano
W(x)=x>0
mostra que \{x,\;x\ln(x)\} é um conjunto fundamental de soluções.

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