[20 pontos] Considere a equação de Cauchy - Euler x^{2} y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)+y(x)=0, para x>0.
(a) Mostre que y_{1}(x)=x é solução da equação diferencial.
(b) Encontre uma segunda solução y_{2}(x) para a equação [ Dica: Propor como solução \left.y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x)\right]. Use o Wronskiano para mostrar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''(x)-x\,y'(x)+y(x)=0,\quad x>0,
e pede (a) verificar que y_{1}(x)=x é solução e (b) encontrar uma segunda solução y_{2}(x) por redução de ordem, mostrando pelo Wronskiano que \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental.
Passo 2
Para (a), tomamos y_{1}(x)=x. Então
y_{1}'(x)=1,\qquad y_{1}''(x)=0.
Substituindo na equação:
x^{2}\cdot0 - x\cdot1 + x = -x + x = 0.
Logo \,y_{1}(x)=x satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Para (b), usamos redução de ordem. Escrevemos primeiro o ODE em forma padrão dividindo por x^{2}:
y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^{2}}y = 0.
Propomos
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=u(x)\,x.
Substituímos e impomos a condição auxiliar u'(x)\,y_{1}(x)=u'(x)\,x para simplificar cálculo.