(a) f é contínua em c=-1 ? Justifique!
(b) f é contínua em c=1 ? Justifique!
(c) f é contínua em c=4 ? Justifique!
(d) Esboce o gráfico de f(x).
(e) Qual é o conjunto imagem de f ?
e pede (a)–(c) verificar continuidade em c=-1,1,4; (d) esboçar o gráfico; (e) determinar o conjunto imagem. Para verificar continuidade num ponto c usamos o critério
limxto c^-f(x)=limxto c^+f(x)=f(c)
Depois, para a imagem, achamos o intervalo de valores em cada ramo e unimos tudo.
Passo 2
Verificação em c=-1.
Para x<-1 vale f(x)=x^2+3x, logo
limxto(-1)^-f(x)=(-1)^2+3(-1)=1-3=-2
Para -1<= x<=1 vale f(x)=x-1, então
limxto(-1)^+f(x)=(-1)-1=-2, f(-1)=(-1)-1=-2
Como os três valores coincidem em -2, f é contínua em c=-1.
Passo 3
Verificação em c=1.
Para -1<= x<=1, f(x)=x-1 dá
limxto1^-f(x)=1-1=0, f(1)=1-1=0
Para 1<x<=4, f(x)=log2(x) dá
limxto1^+f(x)=log2(1)=0
Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=0, f é contínua em c=1.
Passo 4
Verificação em c=4.
Para 1<x<=4, f(x)=log2(x) dá
limxto4^-f(x)=log2(4)=2, f(4)=log2(4)=2
Para x>4, f(x)=3 dá
limxto4^+f(x)=3
Aqui limxto4^-f(x)=2neq3=limxto4^+f(x), então há descontinuidade em c=4.
Passo 5
Esboço do gráfico:
Para x<-1, é a parábola y=x^2+3x cujo vértice em x=-32 vale -94, passando por (-1,-2).
No intervalo [-1,1], é o segmento de reta de (-1,-2) até (1,0).
Para 1<x<=4, é o arco da curva y=log2(x) de (1,0) (ponto aberto) até (4,2) (ponto fechado).
Para x>4, é a reta horizontal y=3 a partir de (4,3) (ponto aberto).
Passo 6
Conjunto imagem:
Ramo x < -1: x^2 + 3x tem valor mínimo -tfrac94 em x = -tfrac32 e vai a +infty quando x to -infty, logo imagem l[-tfrac94, inftyr).
Os outros ramos ([-2,0], (0,2] e 3) estão contidos em l[-tfrac94, inftyr).
Portanto a imagem total é
Im(f) = l[-tfrac94, inftyr)
Resposta
(a) Sim, pois limxto-1^-f(x)=limxto-1^+f(x)=f(-1)=-2.
(b) Sim, pois limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=0.
(c) Não, pois limxto4^-f(x)=2neq3=limxto4^+f(x).
(d) Esboço: parábola em x<-1 (vértice em -tfrac32,-tfrac94), segmento de reta de (-1,-2) a (1,0), curva log2(x) de (1,0) (aberto) a (4,2), e reta horizontal y=3 em x>4.
(e) Im(f)=[-tfrac94,infty).