Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(x sin x)^tan x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0(xsin x)^tan x
Isso é um caso de tipo 0^0 (pois xsin xto0 e tan xto0). Para resolver, usamos a estratégia
f(x)^g(x)=expl(g(x)ln f(x)r),
desde que o limite de g(x)ln f(x) exista.

Passo 2

Escrevemos
(xsin x)^tan x = expl(tan xcdotln(xsin x)r)
Logo precisamos calcular
limxto0l[tan xcdotln(xsin x)r]

Passo 3

Usamos expansões para xto0:
tan x = x + o(x) e
ln(xsin x) =ln(x^2)+lnl(sin xxr) =2ln x + lnl(1+o(x^2)r) =2ln x + o(1)
Então
tan xcdotln(xsin x) =(x+o(x))l(2ln x+o(1)r) =2xln x + o(xln x)
E como limxto0xln x=0, segue
limxto0tan xln(xsin x)=0

Passo 4

Portanto
limxto0(xsin x)^tan x =expl(0r) =1

Resposta

1

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