Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, fazendo a troca de variável
a equação fica com coeficientes que formam uma equação de Euler para
. Depois, resolvemos a equação de Euler de segunda ordem para
e integramos para obter
.
Passo 2
Definindo
, temos
. A EDO fica
Agora note que, se
, então
e
. Substituindo, obtemos
que é uma equação de Euler (ou equidimensional) de segunda ordem em
.
Passo 3
Para resolver
fazemos o ansatz
. Substituindo, vem
Logo
e a solução geral é
onde
são constantes alternativas a
.
Passo 4
Como
, integramos
Para calcular
e
, faça
,
:
Voltando a
e reunindo as constantes de integração em
, obtemos
Passo 5
Reescrevendo com constantes arbitrárias
e lembrando
, a forma mais limpa é
Resposta
com
constantes arbitrárias.