Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
(2+x)^2 y^prime prime prime+(2+x) y^prime prime+y^prime=0 (x>-2)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
(2+x)^2,y'''(x)+(2+x),y''(x)+y'(x)=0, x>-2
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, fazendo a troca de variável
t = x+2>0,
a equação fica com coeficientes que formam uma equação de Euler para u(t)=y'(t). Depois, resolvemos a equação de Euler de segunda ordem para u(t) e integramos para obter y(t).

Passo 2

Definindo t=x+2, temos tfracddx=tfracddt. A EDO fica
t^2,y'''(t)+t,y''(t)+y'(t)=0
Agora note que, se u(t)=y'(t), então u'(t)=y''(t) e u''(t)=y'''(t). Substituindo, obtemos
t^2,u''(t)+t,u'(t)+u(t)=0,
que é uma equação de Euler (ou equidimensional) de segunda ordem em u(t).

Passo 3

Para resolver
t^2u''+t,u'+u=0,
fazemos o ansatz u(t)=t^m. Substituindo, vem
m(m-1)t^m + m,t^m + t^m=0 Longrightarrow l(m(m-1)+m+1r)t^m=0 Longrightarrow m^2+1=0
Logo m=pm i e a solução geral é
u(t)=C1t^i+C2t^-i = Acosl(ln tr)+Bsinl(ln tr),
onde A,B são constantes alternativas a C1,C2.

Passo 4

Como u(t)=y'(t), integramos
y'(t)=Acos(ln t)+Bsin(ln t)
Para calcular integralcos(ln t),dt e integralsin(ln t),dt, faça w=ln t, dt=e^wdw:
integral e^wcos w,dw=e^w2(sin w+cos w), integral e^wsin w,dw=e^w2(sin w-cos w)
Voltando a t e reunindo as constantes de integração em C3, obtemos
y(t) =A,t2l(sin(ln t)+cos(ln t)r) +B,t2l(sin(ln t)-cos(ln t)r) + C3

Passo 5

Reescrevendo com constantes arbitrárias C1,C2 e lembrando t=x+2, a forma mais limpa é
y(x) =C1(x+2)cos!l(ln(x+2)r) +C2(x+2)sin!l(ln(x+2)r) +C3

Resposta

boxedy(x)=C1(x+2)cos!l(ln(x+2)r) +C2(x+2)sin!l(ln(x+2)r) +C3, x>-2,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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