(20 pontos) Considere a função
(a) (10 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
(b) (10 pontos) Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
(a) (10 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
(b) (10 pontos) Mostre que
Passo 1
A gente tem uma função polinomial
e precisa de duas coisas: (a) a reta tangente ao gráfico no ponto
, e (b) mostrar que
tem pelo menos uma raiz. Para isso vamos usar derivada para o item (a) e o Teorema do Valor Intermediário para o item (b).
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
. Como
, aplicando regra do poder e soma de derivadas, temos
Passo 3
Agora avaliamos a derivada em
:
Isso nos diz que o coeficiente angular da reta tangente em
é 4. A equação ponto‐inclinação é
que simplificando vira
Passo 4
Para mostrar que
tem pelo menos uma raiz, observamos que sendo polinomial ela é contínua em todo
. Calculamos:
Como
e
, há troca de sinal.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo. Logo, existe
tal que
.
Resposta
a) y=4x-3 b) Sim. Como f(0)=-1<0 e f(1)=1>0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em (0,1).