(20 pontos) Considere a função f(x)=x^4-x^2+2 x-1
(a) (10 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1)
(b) (10 pontos) Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

A gente tem uma função polinomial f(x)=x^4-x^2+2x-1 e precisa de duas coisas: (a) a reta tangente ao gráfico no ponto (1,1), e (b) mostrar que f tem pelo menos uma raiz. Para isso vamos usar derivada para o item (a) e o Teorema do Valor Intermediário para o item (b).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^4-x^2+2x-1, aplicando regra do poder e soma de derivadas, temos
f'(x)=4x^3-2x+2

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=1:
f'(1)=4cdot1^3-2cdot1+2=4-2+2=4
Isso nos diz que o coeficiente angular da reta tangente em (1,1) é 4. A equação ponto‐inclinação é
y-1=4(x-1)
que simplificando vira
y=4x-3

Passo 4

Para mostrar que f tem pelo menos uma raiz, observamos que sendo polinomial ela é contínua em todo R. Calculamos:
f(0)=0^4-0^2+2cdot0-1=-1
f(1)=1^4-1^2+2cdot1-1=1
Como f(0)=-1<0 e f(1)=1>0, há troca de sinal.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo. Logo, existe cin(0,1) tal que f(c)=0.

Resposta

a) y=4x-3 b) Sim. Como f(0)=-1<0 e f(1)=1>0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário há pelo menos uma raiz em (0,1).

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