Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
integral x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral integral x^3raiz1-x^2,dx usando o método de integração por partes. O conteúdo é cálculo de integrais indefinidas, e vamos usar a fórmula de integração por partes e depois uma substituição simples.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escrevemos x^3 como x^2cdot x e escolhemos
u e dv de modo útil:
u = x^2, dv = xraiz1-x^2,dx

Passo 3

Calculamos então du e v a partir da escolha anterior. Temos
du = 2x,dx,
e
v = integral xraiz1-x^2,dx
Para encontrar v, fazemos a substituição w = 1-x^2, dw = -2x,dx, obtendo
v = integral xraiz1-x^2,dx = -raiz1-x^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
para obter
integral x^3raiz1-x^2,dx = x^2l(-raiz1-x^2r) - integral l(-raiz1-x^2r),(2x,dx)
Isso simplifica para
-,x^2raiz1-x^2 + 2integral xraiz1-x^2,dx

Passo 5

Agora focamos na integral integral xraiz1-x^2,dx. Usamos a substituição t = 1 - x^2, então dt = -2x,dx e x,dx = -tfrac12dt. Assim:
integral xraiz1-x^2,dx = integral raizt,l(-tfrac12dtr) = -tfrac12integral t^1/2dt = -tfrac12cdot23t^3/2 = -tfrac13(1-x^2)^3/2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão e simplificando, obtemos
integral x^3raiz1-x^2,dx = -x^2raiz1-x^2 + 2l(-tfrac13(1-x^2)^3/2r) + C = -x^2raiz1-x^2 - tfrac23(1-x^2)^3/2 + C
Fatorando raiz1-x^2 e agrupando termos, leva a
-x^2+23,raiz1-x^2 + C

Resposta

-tfracx^2+23,raiz1-x^2 + C

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