Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI y''-2y'+5y=0 com y(0)=1 e y'(0)=3 usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve a propriedade da transformada de derivadas, álgebra em s, completar quadrado no denominador e usar a tabela de inversão para termos do tipo (s-a)/((s-a)^2+b^2) e b/((s-a)^2+b^2). Vamos precisar de Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y''-2y'+5y=0 e inserindo y(0)=1, y'(0)=3, a equação vira
Ly''-2Ly'+5Ly=0
l(s^2Y(s)-scdot1-3r)-2l(sY(s)-1r)+5Y(s)=0

Passo 3

Isolando Y(s) e organizando os termos constantes em s:
l(s^2-2s+5r)Y(s)-s-3+2=0
l(s^2-2s+5r)Y(s)=s+1
Y(s)=s+1s^2-2s+5

Passo 4

Para inverter vamos completar o quadrado no denominador:
s^2-2s+5=(s-1)^2+4
E expressar o numerador em termos de s-1:
s+1=(s-1)+2

Passo 5

Logo
Y(s)=s-1(s-1)^2+4+2(s-1)^2+4

Passo 6

Pela tabela de transformadas inversas, temos
L^-1ls-1(s-1)^2+2^2r=e^tcos(2t),L^-1l2(s-1)^2+2^2r=e^tsin(2t)

Passo 7

Somando os dois termos, a solução no tempo é a superposição:
y(t)=e^tcos(2t)+e^tsin(2t)

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(\cos(2t)+\sin(2t))

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