(20 pontos) Considere os pontos A=(1,0,1), B=(2,2,1) e C=(0,1,3).
(a) Mostre analiticamente que os pontos A, B e C não são colineares.
(b) Calcule a área do triângulo \triangle A B C.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(1,0,1), B=(2,2,1) e C=(0,1,3). Pedido:
  • (a) Mostrar analiticamente que os pontos A, B e C não são colineares.
  • (b) Calcular a área do triângulo \triangle ABC.
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas de A: (1,0,1).
  • Coordenadas de B: (2,2,1).
  • Coordenadas de C: (0,1,3).

Passo 2

Entender o que significa “colineares” e como verificar isso com vetores.
Explicação didática: três pontos A,B,C em \mathbb{R}^3 são colineares se e somente se os vetores \vec{AB} e \vec{AC} são paralelos (ou um deles é o vetor nulo). Dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos quando existe um escalar \lambda tal que um é \lambda vezes o outro. Outra forma prática: se \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos escalares, então os pontos não são colineares.
Primeiro, calculamos os vetores \vec{AB} e \vec{AC} a partir das coordenadas dos pontos. Para subtrair coordenadas: se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então \vec{PQ}=Q-P=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).

Passo 3

Calcular \vec{AB} e \vec{AC}.
\vec{AB} = B - A = (2-1,\;2-0,\;1-1) = (1,\;2,\;0).
\vec{AC} = C - A = (0-1,\;1-0,\;3-1) = (-1,\;1,\;2).

Passo 4

Usar a definição de paralelismo entre vetores para testar colinearidade (método direto e simples).
Se \vec{AB} e \vec{AC} fossem paralelos, existiria \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{AB}=\lambda\vec{AC}. Isso implica igualdade componente a componente:
(1,2,0)=\lambda(-1,1,2).
Isso gera o sistema de equações:
1=-\lambda,\qquad 2=\lambda,\qquad 0=2\lambda.
Da primeira equação segue \lambda=-1. Da segunda segue \lambda=2. Já da terceira segue \lambda=0. Essas três condições são contraditórias (não existe um \lambda que satisfaça todas). Em particular, a terceira componente mostra imediatamente a impossibilidade porque a terceira componente de \vec{AB} é 0 enquanto a de \vec{AC} é 2; não há escalar \lambda tal que 0=\lambda\cdot 2 e simultaneamente as outras igualdades ocorram.
Portanto \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos escalares, o que implica que A,B,C não são colineares. Assim respondemos a letra (a).

Passo 5

Agora, para calcular a área do triângulo \triangle ABC usamos a relação vetorial entre área e produto vetorial.
Aula rápida sobre produto vetorial e área:
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} de dois vetores \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos cuja magnitude \|\vec{u}\times\vec{v}\| é igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.
  • A área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} é metade da área do paralelogramo, ou seja \dfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
  • Fórmula prática (determinante): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Expansão por co-fatores dá as componentes do vetor.
Aplicamos com \vec{u}=\vec{AB} e \vec{v}=\vec{AC}.]

Passo 6

Calcular o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC} detalhadamente.
Tomando \vec{AB}=(1,2,0) e \vec{AC}=(-1,1,2),
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \mathbf{i}(2\cdot 2 - 0\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 2 - 0\cdot(-1)) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 2\cdot(-1)).
Calcule cada termo:
\mathbf{i}\text{-componente}: 2\cdot 2 - 0\cdot 1 = 4,
\mathbf{j}\text{-componente}: 1\cdot 2 - 0\cdot(-1) = 2,
\mathbf{k}\text{-componente}: 1\cdot 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.
Lembre que o sinal do termo em \mathbf{j} já tem o menos da expansão, então o vetor final é
\vec{AB}\times\vec{AC} = (4,\,-2,\,3).
Observação: o fato de \vec{AB}\times\vec{AC}\neq(0,0,0) reafirma que \vec{AB} e \vec{AC} não são paralelos, confirmando a resposta da letra (a) por um método alternativo.]

Passo 7

Calcular a magnitude do produto vetorial e a área do triângulo.
A magnitude de \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é \|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aqui,
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\sqrt{4^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}.
A área do triângulo \triangle ABC é metade da magnitude:
\text{Área}(\triangle ABC)=\frac{1}{2}\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\frac{1}{2}\sqrt{29}.Á

Resposta

(a) Os pontos A, B e C não são colineares.
(b) \dfrac{1}{2}\sqrt{29}

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