Dados os vetores vec{u}=(2,-1,3), vec{v}=(1,1,0) e vec{w}=(-1,0,4). Calcule:
(a) O ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei estes vetores do enunciado):
  • Pede: calcular o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • Dados:
    • \vec{u}=(2,-1,3).
    • \vec{v}=(1,1,0).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Produto escalar (ou dot product) de dois vetores em \mathbb{R}^3: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.Esse produto combina componente a componente. Exemplo rápido: (1,0,0)\cdot(0,1,0)=1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0.
  • Relação entre produto escalar e ângulo: se \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,onde \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}.
  • Norma (magnitude) de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3): \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Assim, para achar o ângulo: primeiro calculamos \vec{u}\cdot\vec{v}, depois \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|, e por fim \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}, \qquad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\right).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando a definição componente a componente:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+(-1)\cdot1+3\cdot0=2-1+0=1.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
Para \vec{u}=(2,-1,3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
Para \vec{v}=(1,1,0):
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =\dfrac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{2}} =\dfrac{1}{\sqrt{28}}.
Podemos simplificar \sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}, logo
\cos\theta=\dfrac{1}{2\sqrt{7}}.

Passo 6

Passar do cosseno para o ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\right).
Esse é o valor exato (em forma de arco-cosseno). Se for preciso um valor numérico aproximado, primeiro avaliamos o cosseno numericamente:
\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\approx 0{,}188982,
então
\theta\approx \operatorname{arccos}(0{,}188982)\approx 79{,}11^\circ.
Em radianos:
\theta\approx 79{,}11^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}\approx 1{,}380\\ \text{rad}.
Dica prática para a prova: calcule produto escalar e normas, simplifique frações com raízes quando possível (como fizemos), e só então aplique \operatorname{arccos} no final. Se não houver calculadora, entregue a forma exata \operatorname{arccos}\!\big(1/(2\sqrt{7})\big).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\right)\approx79{,}11^\circ (aprox. 1{,}380\\ \text{rad})

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