Dados os vetores
e
. Calcule:
(a) O ângulo entre os vetores
e
.
(a) O ângulo entre os vetores
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei estes vetores do enunciado):
- Pede: calcular o ângulo entre os vetores
e . - Dados:
-
. -
.
-
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Produto escalar (ou dot product) de dois vetores em
: para e , Esse produto combina componente a componente. Exemplo rápido: . - Relação entre produto escalar e ângulo: se
é o ângulo entre e , onde é o comprimento (norma) de . - Norma (magnitude) de um vetor
: - Assim, para achar o ângulo: primeiro calculamos
, depois e , e por fim
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando a definição componente a componente:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
Podemos simplificar
, logo
Passo 6
Passar do cosseno para o ângulo:
Esse é o valor exato (em forma de arco-cosseno). Se for preciso um valor numérico aproximado, primeiro avaliamos o cosseno numericamente:
então
Em radianos:
Dica prática para a prova: calcule produto escalar e normas, simplifique frações com raízes quando possível (como fizemos), e só então aplique
no final. Se não houver calculadora, entregue a forma exata
.