Mostre os seguintes resultados: Sejam A e B pontos distintos quaisquer. Então:
\overline{A B}=\overline{B A};

Passo 1

O enunciado dá dois pontos distintos A e B e pede para provar a igualdade entre os segmentos \overline{A B} e \overline{B A}. Ou seja, mostrar que o conjunto de pontos que formam o segmento com extremidades A e B é o mesmo independentemente da ordem das letras.

Passo 2

Vamos escolher uma definição concreta e simples de segmento que é muito usada em geometria analítica e em provas elementares: após fixar um sistema de coordenadas (ou uma origem), identificamos cada ponto com seu vetor posição; o segmento \overline{A B} é o conjunto de pontos X que podem ser escritos como combinação convexa de A e B. Formalmente,
\overline{A B}=\{\, (1-t)A + tB \mid 0\le t\le 1\,\},
onde A e B no lado direito representam os vetores posição de A e B. Aqui a expressão (1-t)A+tB representa o ponto no segmento que está na proporção t de A para B: quando t=0 obtém-se A e quando t=1 obtém-se B. Esta definição é natural e lembra “pegar o ponto que fica a uma fração t do caminho de A para B”.

Passo 3

Usando a mesma ideia, escrevemos o segmento \overline{B A} como
\overline{B A}=\{\, (1-s)B + sA \mid 0\le s\le 1\,\}.
Repare que, para qualquer parâmetro t com 0\le t\le 1, se escolhermos s=1-t então 0\le s\le 1 também, e
(1-s)B + sA = (1-(1-t))B + (1-t)A = tB + (1-t)A = (1-t)A + tB.
Isso mostra que todo ponto descrito por um parâmetro t em \overline{A B} é também descrito por s=1-t em \overline{B A}. Logo \overline{A B}\subseteq\overline{B A}.

Passo 4

A inclusão inversa é análoga: dado s em [0,1] use t=1-s para ver que
(1-t)A + tB = (1-(1-s))A + (1-s)B = sA + (1-s)B = (1-s)B + sA,
portanto cada ponto de \overline{B A} pertence a \overline{A B}. Assim \overline{B A}\subseteq\overline{A B}.

Passo 5

Com as duas inclusões \overline{A B}\subseteq\overline{B A} e \overline{B A}\subseteq\overline{A B} provadas, concluímos que os conjuntos são iguais. Intuitivamente: ir de A para B ou de B para A percorre exatamente os mesmos pontos, apenas com parâmetro contrário.

Resposta

\overline{A B}=\overline{B A}

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