Dados os vetores
e
. Calcule:
(b) O vetor projeção de
sobre
, ou seja,
.
(b) O vetor projeção de
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
,
e
e pede especificamente o vetor projeção de
sobre
, ou seja,
.
Passo 2
Apresentar a fórmula da projeção e explicar o que cada símbolo significa.
A projeção de
sobre
é dada por
Explicando os termos:
-
é o produto escalar entre e , que dá um número (escalar). -
é o produto escalar de por si mesmo, que é o quadrado da norma de . - O quociente
é um escalar que indica quanto de está em . - Multiplicando esse escalar por
obtém-se o vetor projeção, que é um vetor paralelo a .
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Lembre que, para vetores
e
,
Aplicando em
e
:
Passo 4
Calcular o produto escalar
(o quadrado da norma de
):
Passo 5
Calcular o escalar
. Agora multiplica-se esse escalar pelo vetor
. Multiplicação escalar por vetor é feita componente a componente:
Passo 6
Interpretação rápida e verificação (didática): o vetor
é paralelo a
e é o componente de
na direção de
. Como verificação, o vetor diferencial
deve ser ortogonal a
. Calculando rapidamente:
O produto escalar com
é
confirmando que a componente restante é ortogonal a
, portanto a projeção está correta.