Dados os vetores vec{u}=(2,-1,3), vec{v}=(1,1,0) e vec{w}=(-1,0,4). Calcule:
(b) O vetor projeção de vec{u} sobre vec{v}, ou seja, \operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(2,-1,3), \vec{v}=(1,1,0) e \vec{w}=(-1,0,4) e pede especificamente o vetor projeção de \vec{u} sobre \vec{v}, ou seja, \operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}).

Passo 2

Apresentar a fórmula da projeção e explicar o que cada símbolo significa.
A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Explicando os termos:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}, que dá um número (escalar).
  • \vec{v}\cdot\vec{v} é o produto escalar de \vec{v} por si mesmo, que é o quadrado da norma de \vec{v}.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um escalar que indica quanto de \vec{v} está em \vec{u}.
  • Multiplicando esse escalar por \vec{v} obtém-se o vetor projeção, que é um vetor paralelo a \vec{v}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Lembre que, para vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando em \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+(-1)\cdot1+3\cdot0=2-1+0=1.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{v} (o quadrado da norma de \vec{v}):
\vec{v}\cdot\vec{v}=1^2+1^2+0^2=1+1+0=2.

Passo 5

Calcular o escalar \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\dfrac{1}{2}. Agora multiplica-se esse escalar pelo vetor \vec{v}=(1,1,0). Multiplicação escalar por vetor é feita componente a componente:
\frac{1}{2}\vec{v}=\frac{1}{2}(1,1,0)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right).

Passo 6

Interpretação rápida e verificação (didática): o vetor \operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) é paralelo a \vec{v} e é o componente de \vec{u} na direção de \vec{v}. Como verificação, o vetor diferencial \vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) deve ser ortogonal a \vec{v}. Calculando rapidamente:
\vec{u}-\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)=\left(2-\tfrac{1}{2},-1-\tfrac{1}{2},3-0\right)=\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2},3\right).
O produto escalar com \vec{v} é
\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2},3\right)\cdot(1,1,0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}+0=0,
confirmando que a componente restante é ortogonal a \vec{v}, portanto a projeção está correta.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right)

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