(20 pontos) Considere os vetores U=(b, 0,0), V=(3,3,0) e W=(1,1,1). Sabendo que o volume do paralelepípedo gerado por U, V e W é 15 , determine os possíveis valores de b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\displaystyle U=(b,0,0), \displaystyle V=(3,3,0) e \displaystyle W=(1,1,1)
e afirma que o volume do paralelepípedo gerado por eles é 15.
O conteúdo aqui é que o volume de um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 é dado por
\text{Volume} = \bigl|\det([\,U\;V\;W\,])\bigr|
onde a matriz [\,U\;V\;W\,] tem colunas formadas pelos vetores U,V,W.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são U, V e W:
[\,U\;V\;W\,] =\begin{pmatrix} b & 3 & 1\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz dá, em módulo, o volume do paralelepípedo.

Passo 3

Calculamos \det([\,U\;V\;W\,]). Como a matriz é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det([\,U\;V\;W\,]) = b \cdot 3 \cdot 1 = 3b.

Passo 4

Impondo que o volume seja 15, temos
\bigl|\det([\,U\;V\;W\,])\bigr| = |3b| = 15 \quad\Longrightarrow\quad |b| = 5.

Resposta

Os possíveis valores de b são
b = 5 \quad\text{ou}\quad b = -5.

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