(6 pontos ) Se A^{-1}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 7 & 3 & 0 & 0 \\\\ 5 & 4 & 2 & 0 \\\\ 7 & 1 & 8 & 1\end{array}\right] então a soma dos elementos da diagonal da matriz adj A (adjunta de A ) é:
(a) \frac{7}{6}
(b) \frac{5}{6}
(c) 42
(d) 36
(e) 0

Passo 1

O enunciado dá a matriz inversa A^{-1} de ordem 4 e pede a soma dos elementos da diagonal da matriz adjunta de A, isto é, \mathrm{tr}(\operatorname{adj}A). Vamos usar a relação
\operatorname{adj}A = \det(A)\,A^{-1},
de onde
\mathrm{tr}(\operatorname{adj}A)=\det(A)\,\mathrm{tr}(A^{-1}).
Para obter esse valor, precisamos de \mathrm{tr}(A^{-1}) e de \det(A).

Passo 2

Calcular \mathrm{tr}(A^{-1}). Como A^{-1} é triangular inferior, sua trace é a soma dos elementos da diagonal:
\mathrm{tr}(A^{-1}) = 1 + 3 + 2 + 1 = 7.

Passo 3

Calcular \det(A^{-1}). Para uma matriz triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A^{-1}) = 1 \times 3 \times 2 \times 1 = 6.

Passo 4

Determinar \det(A). Sabemos que \det(A^{-1}) = 1/\det(A), logo
\det(A) = \frac{1}{\det(A^{-1})} = \frac{1}{6}.

Passo 5

Usar a fórmula da trace da adjunta:
\mathrm{tr}(\operatorname{adj}A) = \det(A)\,\mathrm{tr}(A^{-1}) = \frac{1}{6}\times 7 = \frac{7}{6}.

Resposta

(a) \dfrac{7}{6}

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