(6 pontos ) Considere o triângulo de vértices A=(3,4,0), B=(6,8,0) e C=(3,4,1). A área deste triângulo é:
(a) \frac{1}{2}.
(b) \frac{\sqrt{5}}{2}
(c) 2
(d) \frac{5}{2}
(e) 5

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo com vértices A=(3,4,0), B=(6,8,0) e C=(3,4,1). Vamos usar o método de produto vetorial em \mathbb{R}^3: a área é metade da magnitude do vetor \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.

Passo 2

Calculamos os vetores de aresta a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (6-3,\;8-4,\;0-0) = (3,4,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-3,\;4-4,\;1-0) = (0,0,1).

Passo 3

Usamos a definição de produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (4\cdot1 - 0\cdot0)\,\mathbf{i} - (3\cdot1 - 0\cdot0)\,\mathbf{j} + (3\cdot0 - 4\cdot0)\,\mathbf{k} = (4,-3,0).

Passo 4

A magnitude desse vetor é
\bigl\lVert(4,-3,0)\bigr\rVert = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16+9} = 5.
Então a área do triângulo é
\frac{1}{2}\,\bigl\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rVert = \frac{1}{2}\cdot 5 = \frac{5}{2}.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{5}{2}

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