(25 pontos) Encontre uma equação geral para o plano que contém a reta r=\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=3+2 t \\\ z=5+t\end{array}\right. te \mathbb{R} e o ponto P=(2,3,6).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta
\displaystyle r:\begin{cases}x=1+t\y=3+2t\z=5+t\end{cases}
e o ponto P=(2,3,6).
O conteúdo aqui é Geometria Analítica de planos em \mathbb{R}^3. Para achar a equação, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, o que fazemos usando dois vetores diretores: o da reta e um que ligue um ponto da reta a P.

Passo 2

Escolhemos o ponto A na reta para t=0, ou seja,
\displaystyle A=(1,3,5).
O vetor diretor da reta é
\displaystyle \vec v=(1,2,1)
e o vetor que liga A a P é
\displaystyle \overrightarrow{AP}=P-A=(2-1,\;3-3,\;6-5)=(1,0,1).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano é o produto vetorial
\vec v\times\overrightarrow{AP}. Calculamos:
\vec n =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(2\cdot1-1\cdot0)\,\mathbf{i} -\bigl(1\cdot1-1\cdot1\bigr)\,\mathbf{j} +(1\cdot0-2\cdot1)\,\mathbf{k} =(2,0,-2).
Podemos simplificar para
\displaystyle \vec n=(1,0,-1).

Passo 4

A equação vetorial do plano com normal \vec n passando por A é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \vec n=(1,0,-1) e A=(1,3,5) temos
(1,0,-1)\cdot(x-1,\;y-3,\;z-5)=0.

Passo 5

Fazendo o produto escalar e simplificando:
1\cdot(x-1)+0\cdot(y-3)-1\cdot(z-5)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-1 -z+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x - z +4 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
x - z + 4 = 0.

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