(25 pontos) Encontre uma equação geral para o plano que contém a reta r=\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=3+2 t \\\ z=5+t\end{array}\right. te \mathbb{R} e o ponto P=(2,3,6).
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta
e o ponto P=(2,3,6).
O conteúdo aqui é Geometria Analítica de planos em \mathbb{R}^3. Para achar a equação, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, o que fazemos usando dois vetores diretores: o da reta e um que ligue um ponto da reta a P.
Passo 2
Escolhemos o ponto A na reta para t=0, ou seja, \displaystyle A=(1,3,5).
O vetor diretor da reta é \displaystyle \vec v=(1,2,1)
e o vetor que liga A a P é \displaystyle \overrightarrow{AP}=P-A=(2-1,\;3-3,\;6-5)=(1,0,1).
Passo 3
O vetor normal \vec n ao plano é o produto vetorial \vec v\times\overrightarrow{AP}. Calculamos: