(20 pontos) Descreva o conjunto solução do sistema linear a seguir na forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l} -2 x_{2}+4 x_{4}-6 x_{5}+2 x_{6}=3 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{6}=7 \\ x_{4}+3 x_{5}+3 x_{6}=4 \\ 2 x_{4}+7 x_{5}+4 x_{6}=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: descrever o conjunto solução do sistema linear na forma paramétrica. O sistema dado é
\left\{\begin{array}{l} -2 x_{2}+4 x_{4}-6 x_{5}+2 x_{6}=3 \\[4pt] x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{6}=7 \\[4pt] x_{4}+3 x_{5}+3 x_{6}=4 \\[4pt] 2 x_{4}+7 x_{5}+4 x_{6}=10 \end{array}\right.
Informações relevantes que vamos usar:
  • 6 incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 e 4 equações, então esperamos um espaço afim de soluções com pelo menos 6-4=2 parâmetros livres (se o sistema for compatível).
  • As equações 3 e 4 envolvem apenas \,x_4,x_5,x_6, então é eficiente começar resolvendo esse bloco para expressar \,x_4,x_5 em função de \,x_6.
  • Depois usaremos essas expressões em 1 para obter \,x_2 e finalmente em 2 para obter \,x_1. A variável \,x_3 não aparece nas equações 1,3,4, portanto provavelmente será um parâmetro livre.]

Passo 2

Vamos resolver o sistema formado pelas equações 3\) e \(4\) para \(\,x_4\) e \(\,x_5\) em função de \(\,x_6\). Escrevo as duas equações: \[\begin{cases} x_{4}+3 x_{5}+3 x_{6}=4,\\[4pt] 2 x_{4}+7 x_{5}+4 x_{6}=10. \end{cases}
A ideia é eliminar uma das incógnitas (por exemplo \,x_4\]) e resolver para \(\,x_5.]

Passo 3

Isolo \,x_4 na primeira dessas equações:
x_{4}=4-3 x_{5}-3 x_{6}.
Isto é apenas álgebra básica: subi os termos \,3x_5 e \,3x_6 para o outro lado com sinal trocado.

Passo 4

Substituo essa expressão de \,x_4 na segunda equação:
2(4-3 x_{5}-3 x_{6})+7 x_{5}+4 x_{6}=10.
Agora calculo passo a passo:
8-6 x_{5}-6 x_{6}+7 x_{5}+4 x_{6}=10.
Combine termos semelhantes:
8 + x_{5} -2 x_{6}=10.
Passe 8 para o outro lado:
x_{5}-2 x_{6}=2.
Portanto
x_{5}=2+2 x_{6}.

Passo 5

Usando x_{5}=2+2 x_{6} na expressão de x_{4} do Passo 3:
x_{4}=4-3(2+2 x_{6})-3 x_{6}.
Faço as multiplicações e somas:
x_{4}=4-6-6 x_{6}-3 x_{6}= -2 -9 x_{6}.
Então temos
x_{4}=-2-9 x_{6},\qquad x_{5}=2+2 x_{6}.

Passo 6

Agora substituo x_{4} e x_{5} na equação 1 para encontrar x_{2}. A equação 1 é
-2 x_{2}+4 x_{4}-6 x_{5}+2 x_{6}=3.
Substituindo:
-2 x_{2}+4(-2-9 x_{6})-6(2+2 x_{6})+2 x_{6}=3.
Calculo os termos:
-2 x_{2}+(-8-36 x_{6})+(-12-12 x_{6})+2 x_{6}=3.
Agrupo constantes e coeficientes de x_{6}:
-2 x_{2}+(-8-12)+(-36 x_{6}-12 x_{6}+2 x_{6})=3,
-2 x_{2}-20-46 x_{6}=3.
Isolo -2 x_{2}:
-2 x_{2}=3+20+46 x_{6}=23+46 x_{6}.
Divido por -2:
x_{2}=-\tfrac{23}{2}-23 x_{6}.

Passo 7

Falta usar a equação 2 para obter x_{1}. A equação 2 é
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{6}=7.
Substituo x_{2}=-\tfrac{23}{2}-23 x_{6}:
x_{1}+2\Big(-\tfrac{23}{2}-23 x_{6}\Big)+x_{3}+x_{6}=7.
Calculo 2 x_{2}:
2 x_{2}=-23-46 x_{6}.
Então
x_{1}-23-46 x_{6}+x_{3}+x_{6}=7.
Reorganizo isolando x_{1}:
x_{1}=7+23+46 x_{6}-x_{3}-x_{6}.
Simplifico os termos em x_{6}:
x_{1}=30+x_{6}(46-1)-x_{3}=30+45 x_{6}-x_{3}.

Passo 8

Temos agora expressões de todas as incógnitas em termos de x_{3} e x_{6}. Essas duas variáveis são livres (parâmetros). Para escrever de forma paramétrica, chamo
s:=x_{3},\qquad t:=x_{6}.
Substituindo nas expressões obtidas:
\begin{aligned} x_{1}&=30 - s + 45 t,\\[4pt] x_{2}&=-\tfrac{23}{2}-23 t,\\[4pt] x_{3}&=s,\\[4pt] x_{4}&=-2-9 t,\\[4pt] x_{5}&=2+2 t,\\[4pt] x_{6}&=t, \end{aligned}
onde s,t\in\mathbb{R}. Isso é a descrição paramétrica do conjunto solução. Alternativamente, em forma vetorial:
\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\x_6\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}30\\[2pt]-\tfrac{23}{2}\\[2pt]0\\[2pt]-2\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}45\\[2pt]-23\\[2pt]0\\[2pt]-9\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}]

Resposta

x_{1}=30 - s + 45 t
x_{2}=-\tfrac{23}{2}-23 t
x_{3}=s
x_{4}=-2-9 t
x_{5}=2+2 t
x_{6}=t

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