Há 6 incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 e 4 equações, então esperamos um espaço afim de soluções com pelo menos 6-4=2 parâmetros livres (se o sistema for compatível).
As equações 3 e 4 envolvem apenas \,x_4,x_5,x_6, então é eficiente começar resolvendo esse bloco para expressar \,x_4,x_5 em função de \,x_6.
Depois usaremos essas expressões em 1 para obter \,x_2 e finalmente em 2 para obter \,x_1. A variável \,x_3 não aparece nas equações 1,3,4, portanto provavelmente será um parâmetro livre.]
Passo 2
Vamos resolver o sistema formado pelas equações 3\) e \(4\) para \(\,x_4\) e \(\,x_5\) em função de \(\,x_6\). Escrevo as duas equações:
\[\begin{cases} x_{4}+3 x_{5}+3 x_{6}=4,\\[4pt] 2 x_{4}+7 x_{5}+4 x_{6}=10. \end{cases}
A ideia é eliminar uma das incógnitas (por exemplo \,x_4\]) e resolver para \(\,x_5.]
Passo 3
Isolo \,x_4 na primeira dessas equações:
x_{4}=4-3 x_{5}-3 x_{6}.
Isto é apenas álgebra básica: subi os termos \,3x_5 e \,3x_6 para o outro lado com sinal trocado.
Passo 4
Substituo essa expressão de \,x_4 na segunda equação:
2(4-3 x_{5}-3 x_{6})+7 x_{5}+4 x_{6}=10.
Agora calculo passo a passo:
8-6 x_{5}-6 x_{6}+7 x_{5}+4 x_{6}=10.
Combine termos semelhantes:
8 + x_{5} -2 x_{6}=10.
Passe 8 para o outro lado:
x_{5}-2 x_{6}=2.
Portanto
x_{5}=2+2 x_{6}.
Passo 5
Usando x_{5}=2+2 x_{6} na expressão de x_{4} do Passo 3:
x_{4}=4-3(2+2 x_{6})-3 x_{6}.
Faço as multiplicações e somas:
x_{4}=4-6-6 x_{6}-3 x_{6}= -2 -9 x_{6}.
Então temos
x_{4}=-2-9 x_{6},\qquad x_{5}=2+2 x_{6}.
Passo 6
Agora substituo x_{4} e x_{5} na equação 1 para encontrar x_{2}. A equação 1 é
-2 x_{2}+4 x_{4}-6 x_{5}+2 x_{6}=3.
Substituindo:
-2 x_{2}+4(-2-9 x_{6})-6(2+2 x_{6})+2 x_{6}=3.
Calculo os termos:
-2 x_{2}+(-8-36 x_{6})+(-12-12 x_{6})+2 x_{6}=3.
Agrupo constantes e coeficientes de x_{6}:
-2 x_{2}+(-8-12)+(-36 x_{6}-12 x_{6}+2 x_{6})=3,
-2 x_{2}-20-46 x_{6}=3.
Isolo -2 x_{2}:
-2 x_{2}=3+20+46 x_{6}=23+46 x_{6}.
Divido por -2:
x_{2}=-\tfrac{23}{2}-23 x_{6}.
Passo 7
Falta usar a equação 2 para obter x_{1}. A equação 2 é
Temos agora expressões de todas as incógnitas em termos de x_{3} e x_{6}. Essas duas variáveis são livres (parâmetros). Para escrever de forma paramétrica, chamo