Dados V_{1}=(-3,5,2,1) e V_{2}=(1,-2,-1,2) :
(a) Os vetores V_{1} e V_{2} geram \mathrm{o} \mathbb{R}^{4} ? Justifique.
(b) Sejam V_{3} e V_{4} vetores do \mathbb{R}^{4}. Quais as condições sobre V_{3} e V_{4} para que \left\{V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\right\} seja uma base de \mathbb{R}^{4} ?
(c) Encontre vetores V_{3} e V_{4} que complete junto com V_{1} e V_{2} uma base do \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
V_{1}=(-3,5,2,1),\qquad V_{2}=(1,-2,-1,2)
no espaço \mathbb{R}^{4} e pede três coisas:
(a) verificar se V_{1} e V_{2} geram \mathbb{R}^{4} e justificar;
(b) quais condições devem satisfazer V_{3} e V_{4} para que \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} seja uma base de \mathbb{R}^{4};
(c) encontrar exemplos explícitos de V_{3} e V_{4} que, junto com V_{1} e V_{2}, formem uma base de \mathbb{R}^{4}.
Passo 2
O que significa "gerar \mathbb{R}^{4}"? A definição: o conjunto \{V_{1},V_{2}\} gera \mathbb{R}^{4} se qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{4} pode ser escrito como combinação linear
x = a V_{1} + b V_{2}
para alguns escalares a,b\in\mathbb{R}.
Uma observação importante (que usamos muito em provas): o espaço gerado por dois vetores tem dimensão no máximo 2. Em notação,
Mas \mathbb{R}^{4} tem dimensão 4. Portanto dois vetores não podem gerar todo \mathbb{R}^{4}: faltam dimensões. Essa é a razão conceitual e suficiente para responder (a): dois vetores não geram \mathbb{R}^{4}.
Para tornar a justificativa algébrica e direta (jeito útil em prova): suponha, por absurdo, que para todo x\in\mathbb{R}^{4} existam a,b tais que x=aV_{1}+bV_{2}. Em particular isso implicaria que é possível obter quatro vetores linearmente independentes (por exemplo os quatro vetores da base canônica) como combinações de apenas dois vetores — o que é impossível porque qualquer combinação linear de V_{1},V_{2} vive num subespaço de dimensão \le2. Logo, \{V_{1},V_{2}\} NÃO gera \mathbb{R}^{4}.
Resumo do resultado (a): não geram.
Passo 3
Agora a parte (b): o que é preciso para que \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} seja uma base de \mathbb{R}^{4}?
Definição de base: um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{4} se ele (i) gera \mathbb{R}^{4} e (ii) é linearmente independente. Para conjuntos com exatamente 4 vetores em \mathbb{R}^{4} essas duas condições são equivalentes entre si: basta verificar uma delas (por exemplo, linear independência) porque um conjunto de 4 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{4} já gera o espaço; e um conjunto de 4 vetores que gera \mathbb{R}^{4} deve ser linearmente independente.
Portanto duas formas equivalentes de expressar as condições pedidas:
Condição em termos de geração: V_{3} e V_{4} devem ser tais que \operatorname{span}\{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\}=\mathbb{R}^{4}.
Condição em termos de independência linear (mais prática): os quatro vetores devem ser linearmente independentes, isto é, a única solução do sistema
Uma condição simples e verificável em provas: V_{3} não pode pertencer a \operatorname{span}\{V_{1},V_{2}\} (caso contrário já não acrescenta dimensão) e V_{4} não pode pertencer a \operatorname{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\}. Em termos matriciais, se montarmos a matriz 4\times4 cujas colunas são V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}, então esta matriz deve ter posto (rank) igual a 4. Outra forma prática: o determinante dessa matriz (se as colunas forem tomadas nessa ordem) deve ser diferente de zero.
Passo 4
Agora (c): vamos construir explicitamente V_{3}\) e \(V_{4}\) que, junto com \(V_{1}\) e \(V_{2}\), formem uma base. Uma técnica prática: tentar escolher vetores canônicos \(e_{i}\) que com certeza não estejam no span de \(\{V_{1},V_{2}\}\). Vou testar os vetores da base canônica
\[e_{1}=(1,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0),\quad e_{4}=(0,0,0,1).
Primeiro verificar se e_{4}=(0,0,0,1) está em \operatorname{span}\{V_{1},V_{2}\}. Se estivesse, existiriam a,b tais que
a(-3,5,2,1)+b(1,-2,-1,2)=(0,0,0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada temos o sistema
\begin{cases} -3a + b = 0,\\[4pt] 5a - 2b = 0,\\[4pt] 2a - b = 0,\\[4pt] a + 2b = 1. \end{cases}
Das três primeiras equações podemos eliminar a,b\]: da primeira \[b=3a; substituindo na segunda dá 5a-2(3a)=5a-6a=-a=0\Rightarrow a=0\Rightarrow b=0. Mas então a quarta equação seria 0+0=1, contradição. Logo não existem a,b — concluímos que e_{4}\notin\operatorname{span}\{V_{1},V_{2}\}. Isso significa que e_{4} acrescenta uma nova dimensão ao conjunto, ótimo!
Agora vamos escolher e_{3}=(0,0,1,0) como candidato a V_{4}. Precisamos verificar que e_{3}\notin\operatorname{span}\{V_{1},V_{2},e_{4}\}. Se existissem a,b,c tais que
aV_{1}+bV_{2}+c e_{4}=e_{3},
teríamos, coordenada a coordenada,
\begin{cases} -3a + b = 0,\\[4pt] 5a - 2b = 0,\\[4pt] 2a - b = 1,\\[4pt] a + 2b + c = 0. \end{cases}
Novamente das duas primeiras equações vem b=3a\] e substituindo na segunda \(5a-6a=-a=0\Rightarrow a=0\Rightarrow b=0. Com a=b=0 a terceira equação dá 0=1, impossibilidade. Portanto não existem a,b,c: e_{3}\notin\operatorname{span}\{V_{1},V_{2},e_{4}\}.
Concluímos que os vetores V_{3}=e_{4}=(0,0,0,1) e V_{4}=e_{3}=(0,0,1,0) são apropriados: cada um adiciona uma nova dimensão além de \operatorname{span}\{V_{1},V_{2}\}. Rigorosamente, isso implica que \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} é linearmente independente e portanto é uma base de \mathbb{R}^{4}.]
Passo 5
Para fechar de forma algébrica (mostrar independência direta): suponha
Das duas primeiras equações segue \beta=3\alpha\] e então \(5\alpha-2(3\alpha)=-\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\Rightarrow \beta=0. Com \alpha=\beta=0 as duas últimas dão \delta=0 e \gamma=0. Assim a única solução é a trivial, o que prova linear independência. Portanto estes vetores formam mesmo uma base.]
Resposta
(a) Não. V_{1} e V_{2} não geram \mathbb{R}^{4} (o espaço gerado por dois vetores tem dimensão \le2, diferente de 4).
(b) Para que \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} seja uma base de \mathbb{R}^{4} é necessário e suficiente que os quatro vetores sejam linearmente independentes; equivalentemente que \operatorname{rank}[V_{1}\\ V_{2}\\ V_{3}\\ V_{4}]=4. Em termos concretos: V_{3}\notin\operatorname{span}\{V_{1},V_{2}\} e V_{4}\notin\operatorname{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\} (ou, de forma equivalente, o determinante da matriz 4×4 com essas colunas seja diferente de zero).
(c) Um exemplo é
V_{3}=(0,0,0,1),\qquad V_{4}=(0,0,1,0),
pois \{V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\} é linearmente independente e, portanto, é uma base de \mathbb{R}^{4}.