(30 pontos) Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é dada por
\left[\begin{array}{cccc:c} a^{2}+1 & 1 & 7 & 3 a & 3 \\\\ 0 & a^{2}-2 & 1 & -2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 3 a+9 & 3 a & 3 a+9 \\\\ 0 & 0 & 0 & a^{2}-4 & a-2 \end{array}\right]
Determine os valores de a para que o sistema:
(a) Possua uma única solução.
(b) Possua infinitas soluções.
(c) Não possua soluções.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear
\left[\begin{array}{cccc:c} a^{2}+1 & 1 & 7 & 3 a & 3 \\\\ 0 & a^{2}-2 & 1 & -2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 3 a+9 & 3 a & 3 a+9 \\\\ 0 & 0 & 0 & a^{2}-4 & a-2 \end{array}\right]
e pede para determinar os valores de a tais que:
(a) o sistema possua uma única solução;
(b) o sistema possua infinitas soluções;
(c) o sistema não possua solução.
Informações relevantes do enunciado (pego diretamente da matriz acima):
  • Os coeficientes diagonais (potenciais pivôs) são, por linha:
    • linha 1: a^{2}+1.
    • linha 2: a^{2}-2.
    • linha 3: 3a+9.
    • linha 4: a^{2}-4.
  • O termo independente da última linha é a-2.
  • A matriz está em forma triangular superior (já com zeros abaixo da diagonal principal).

Passo 2

Vamos esclarecer a estratégia (sem pular etapas): para um sistema linear representado por uma matriz aumentada em forma triangular superior, a natureza da solução depende dos pivôs (entradas diagonais da matriz de coeficientes) e da consistência das equações:
  • Se todos os pivôs da matriz de coeficientes forem diferentes de zero, a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
  • Se algum pivô da matriz de coeficientes for zero, pode ocorrer:
    • sistema consistente com menor posto (rank) que o número de incógnitas → infinitas soluções (há variáveis livres);
    • ou sistema inconsistente (alguma equação do tipo 0=\text{constante}\neq0) → nenhuma solução.
Vou examinar os pivôs, identificar os valores de a que os anulam, e para cada caso especial verificar consistência linha a linha.

Passo 3

Análise dos pivôs e valores críticos:
  • \,a^{2}+1=0 nunca ocorre para a\in\mathbb{R}, porque a^{2}+1\ge1>0. Logo o primeiro pivô é sempre não nulo.
  • \,a^{2}-2=0 \Longrightarrow a=\pm\sqrt{2}.
  • \,3a+9=0 \Longrightarrow a=-3.
  • \,a^{2}-4=0 \Longrightarrow a=\pm2.
Portanto os valores críticos que merecem análise são a=\pm\sqrt{2},\\\ -3,\\ \pm2. Para qualquer outro a todos os pivôs diagonais são não nulos e teremos solução única (explico isso no próximo passo).

Passo 4

Caso genérico (nenhum pivô zero):
Se a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} então
a^{2}+1\neq0,\qquad a^{2}-2\neq0,\qquad 3a+9\neq0,\qquad a^{2}-4\neq0.
Assim a matriz de coeficientes é triangular com os quatro pivôs não nulos, tem posto 4 (máximo) e o sistema tem exatamente uma solução. Conclusão parcial:
  • Para todo a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} o sistema possui uma única solução.
Agora vamos analisar cada valor crítico separadamente.

Passo 5

Análise para a=2:
Substituindo a=2 nas linhas relevantes:
  • linha 4 (coeficientes): a^{2}-4 = 4-4 = 0.
  • termo independente da linha 4: a-2 = 0.
A última linha fica 0\cdot x_4 = 0, ou seja, uma equação identicamente verdadeira (linha nula na parte dos coeficientes e termo independente zero). As outras linhas (1 a 3) têm pivôs não nulos quando a=2: a^{2}+1=5, a^{2}-2=2, 3a+9=15. Logo o posto da matriz de coeficientes é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3. Como o posto (rank) é menor que o número de incógnitas ( 4), o sistema é consistente com uma variável livre → infinitas soluções (grau de liberdade = 4-3=1). Conclusão:
  • Para a=2 o sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Análise para a=-2:
Substituindo a=-2 na última linha:
  • a^{2}-4 = 4-4 = 0.
  • termo independente a-2 = -2-2 = -4.
A linha 4 fica 0\cdot x_4 = -4, isto é uma contradição (equação impossível). Isso já mostra consistência falha: posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes → sistema inconsistente. Conclusão:
  • Para a=-2 o sistema não possui solução.

Passo 7

Análise para a=-3:
Substituindo a=-3 nas linhas 3 e 4:
  • linha 3: 3a+9 = 3(-3)+9 = 0. A linha 3 original é [0,0,\,3a+9,\,3a \mid 3a+9], para a=-3 torna-se [0,0,0,\;3(-3)\mid 0]=[0,0,0,-9\mid 0]. Essa linha representa -9 x_4 = 0 x_4=0.
  • linha 4: a^{2}-4 = 9-4=5 e a-2=-5. A linha 4 representa 5 x_4 = -5 x_4 = -1.
As duas equações para x_4 são contraditórias ( x_4=0 e x_4=-1 simultaneamente). Logo o sistema é inconsistente. Alternativa de ver por postos: as duas últimas linhas tornam a matriz aumentada de posto maior que a de coeficientes. Conclusão:
  • Para a=-3 o sistema não possui solução.

Passo 8

Análise para a=\pm\sqrt{2} (caso a^{2}-2=0):
Trabalhamos de forma simbólica para a tal que a^{2}=2 (isto abrange a=\sqrt{2} e a=-\sqrt{2}).
A linha 2 torna-se [0,0,1,-2\mid5], ou seja a equação
x_{3}-2x_{4}=5 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=5+2x_{4}.
A linha 3 é (3a+9)x_{3}+3a x_{4}=3a+9. Substituindo x_{3}=5+2x_{4} na linha 3:
(3a+9)(5+2x_{4}) + 3a x_{4} = 3a+9.
Fazendo as contas e isolando x_{4} obtemos
x_{4} = -\dfrac{4(3a+9)}{9a+18} = -\dfrac{4(a+3)}{3(a+2)}.
Por outro lado, a linha 4 (já que a^{2}=2) dá
(a^{2}-4)x_{4}=a-2 \quad\Rightarrow\quad (-2)x_{4}=a-2 \quad\Rightarrow\quad x_{4}=\dfrac{2-a}{2}.
Para que o sistema seja consistente essas duas expressões para x_{4} devem coincidir. Igualando-as:
-\dfrac{4(a+3)}{3(a+2)} = \dfrac{2-a}{2}.
Essa igualdade reduz, depois de manipulação algébrica, à equação
3a^{2}-8a-36=0.
Mas estamos no caso a^{2}=2; substituindo a^{2}=2 na equação acima dá
3\cdot2 -8a -36 = -8a -30 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{15}{4},
o que contradiz a^{2}=2. Portanto não há solução possível para a que satisfaça simultaneamente as duas condições — isto é, para a=\pm\sqrt{2} as duas equações sobre x_{4} são incompatíveis e o sistema é inconsistente.
Conclusão:
  • Para a=\sqrt{2} e a=-\sqrt{2} o sistema não possui solução.

Passo 9

Resumo e conclusão final (reagrupando todos os casos analisados):
  • Para a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} todos os pivôs diagonais são não nulos → posto da matriz de coeficientes é 4 → única solução.
  • Para a=2 o último pivô é zero mas a equação da última linha é 0=0 → posto é 3 e consistente → infinitas soluções.
  • Para a\in\{-3,-2,\pm\sqrt{2}\} aparece pelo menos uma linha inconsistente do tipo 0= constante não nula ou um conflito entre equações → nenhuma solução.

Resposta

(a) a\neq\pm2,\pm\sqrt{2},-3
(b) a=2
(c) a\in\{-3,-2,-\sqrt{2},\sqrt{2}\}

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