e pede para determinar os valores de a tais que:
(a) o sistema possua uma única solução;
(b) o sistema possua infinitas soluções;
(c) o sistema não possua solução.
Informações relevantes do enunciado (pego diretamente da matriz acima):
Os coeficientes diagonais (potenciais pivôs) são, por linha:
linha 1: a^{2}+1.
linha 2: a^{2}-2.
linha 3: 3a+9.
linha 4: a^{2}-4.
O termo independente da última linha é a-2.
A matriz está em forma triangular superior (já com zeros abaixo da diagonal principal).
Passo 2
Vamos esclarecer a estratégia (sem pular etapas): para um sistema linear representado por uma matriz aumentada em forma triangular superior, a natureza da solução depende dos pivôs (entradas diagonais da matriz de coeficientes) e da consistência das equações:
Se todos os pivôs da matriz de coeficientes forem diferentes de zero, a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
Se algum pivô da matriz de coeficientes for zero, pode ocorrer:
sistema consistente com menor posto (rank) que o número de incógnitas → infinitas soluções (há variáveis livres);
ou sistema inconsistente (alguma equação do tipo 0=\text{constante}\neq0) → nenhuma solução.
Vou examinar os pivôs, identificar os valores de a que os anulam, e para cada caso especial verificar consistência linha a linha.
Passo 3
Análise dos pivôs e valores críticos:
\,a^{2}+1=0 nunca ocorre para a\in\mathbb{R}, porque a^{2}+1\ge1>0. Logo o primeiro pivô é sempre não nulo.
\,a^{2}-2=0 \Longrightarrow a=\pm\sqrt{2}.
\,3a+9=0 \Longrightarrow a=-3.
\,a^{2}-4=0 \Longrightarrow a=\pm2.
Portanto os valores críticos que merecem análise são a=\pm\sqrt{2},\\\ -3,\\ \pm2. Para qualquer outro a todos os pivôs diagonais são não nulos e teremos solução única (explico isso no próximo passo).
Passo 4
Caso genérico (nenhum pivô zero):
Se a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} então
Assim a matriz de coeficientes é triangular com os quatro pivôs não nulos, tem posto 4 (máximo) e o sistema tem exatamente uma solução. Conclusão parcial:
Para todo a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} o sistema possui uma única solução.
Agora vamos analisar cada valor crítico separadamente.
Passo 5
Análise para a=2:
Substituindo a=2 nas linhas relevantes:
linha 4 (coeficientes): a^{2}-4 = 4-4 = 0.
termo independente da linha 4: a-2 = 0.
A última linha fica 0\cdot x_4 = 0, ou seja, uma equação identicamente verdadeira (linha nula na parte dos coeficientes e termo independente zero). As outras linhas (1 a 3) têm pivôs não nulos quando a=2: a^{2}+1=5, a^{2}-2=2, 3a+9=15. Logo o posto da matriz de coeficientes é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3. Como o posto (rank) é menor que o número de incógnitas (4), o sistema é consistente com uma variável livre → infinitas soluções (grau de liberdade = 4-3=1). Conclusão:
Para a=2 o sistema tem infinitas soluções.
Passo 6
Análise para a=-2:
Substituindo a=-2 na última linha:
a^{2}-4 = 4-4 = 0.
termo independente a-2 = -2-2 = -4.
A linha 4 fica 0\cdot x_4 = -4, isto é uma contradição (equação impossível). Isso já mostra consistência falha: posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes → sistema inconsistente. Conclusão:
Para a=-2 o sistema não possui solução.
Passo 7
Análise para a=-3:
Substituindo a=-3 nas linhas 3 e 4:
linha 3: 3a+9 = 3(-3)+9 = 0. A linha 3 original é [0,0,\,3a+9,\,3a \mid 3a+9], para a=-3 torna-se [0,0,0,\;3(-3)\mid 0]=[0,0,0,-9\mid 0]. Essa linha representa -9 x_4 = 0 → x_4=0.
linha 4: a^{2}-4 = 9-4=5 e a-2=-5. A linha 4 representa 5 x_4 = -5 → x_4 = -1.
As duas equações para x_4 são contraditórias (x_4=0 e x_4=-1 simultaneamente). Logo o sistema é inconsistente. Alternativa de ver por postos: as duas últimas linhas tornam a matriz aumentada de posto maior que a de coeficientes. Conclusão:
Para a=-3 o sistema não possui solução.
Passo 8
Análise para a=\pm\sqrt{2} (caso a^{2}-2=0):
Trabalhamos de forma simbólica para a tal que a^{2}=2 (isto abrange a=\sqrt{2} e a=-\sqrt{2}).
A linha 2 torna-se [0,0,1,-2\mid5], ou seja a equação
o que contradiz a^{2}=2. Portanto não há solução possível para a que satisfaça simultaneamente as duas condições — isto é, para a=\pm\sqrt{2} as duas equações sobre x_{4} são incompatíveis e o sistema é inconsistente.
Conclusão:
Para a=\sqrt{2} e a=-\sqrt{2} o sistema não possui solução.
Passo 9
Resumo e conclusão final (reagrupando todos os casos analisados):
Para a\notin\{\pm\sqrt{2},-3,\pm2\} todos os pivôs diagonais são não nulos → posto da matriz de coeficientes é 4 → única solução.
Para a=2 o último pivô é zero mas a equação da última linha é 0=0 → posto é 3 e consistente → infinitas soluções.
Para a\in\{-3,-2,\pm\sqrt{2}\} aparece pelo menos uma linha inconsistente do tipo 0= constante não nula ou um conflito entre equações → nenhuma solução.