(Economia) Resolva para x, y, z (setores econômicos):
\left\{\begin{aligned} 0.2 x+0.1 y+0.3 z & =100 \\\\ 0.4 x+0.5 y+0.2 z & =200 \\\\ 0.1 x+0.3 y+0.4 z & =150 \end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver para x,y,z o sistema linear abaixo (ou seja, encontrar os valores numéricos de x, y e z que satisfazem as três equações simultaneamente):
\begin{aligned} 0{,}2x+0{,}1y+0{,}3z&=100,\\[4pt] 0{,}4x+0{,}5y+0{,}2z&=200,\\[4pt] 0{,}1x+0{,}3y+0{,}4z&=150. \end{aligned}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
  • Coeficientes estão em decimais (por exemplo 0{,}2, 0{,}1, …).
  • Objetivo: encontrar os valores numéricos de x,y,z.]

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar as casas decimais para trabalhar com inteiros (fica mais limpo para contas à mão). Multiplico todas as equações por 10. Obtém-se o sistema equivalente:
\begin{aligned} 2x+y+3z&=1000,\\[4pt] 4x+5y+2z&=2000,\\[4pt] x+3y+4z&=1500. \end{aligned}
Explicação rápida do porquê: multiplicar ambos os lados de cada equação por 10 não muda a solução, só remove os decimais e facilita as operações.]

Passo 3

Vou eliminar uma incógnita (escolho x) usando a terceira equação para simplificar. Multiplico a terceira equação por 2 e subtraio a primeira para eliminar x.
Multiplicando a terceira por 2:
2x+6y+8z=3000.
Subtraindo a primeira ( 2x+y+3z=1000) dessa:
(2x+6y+8z)-(2x+y+3z)=3000-1000.
Isso dá:
5y+5z=2000.
Dividindo por 5 (para simplificar):
y+z=400.

Passo 4

A partir de y+z=400 isolamos y:
y=400-z.
Também podemos usar a terceira equação original (inteira) para expressar x em função de z. Substituindo y=400-z em x+3y+4z=1500:
x+3(400-z)+4z=1500.
Calculando:
x+1200-3z+4z=1500,
x+1200+z=1500,
x=300-z.
Agora temos x e y escritos em função de z:
x=300-z,\qquad y=400-z.

Passo 5

Substituo x e y em função de z na segunda equação do sistema inteiro ( 4x+5y+2z=2000) para achar z:
4(300-z)+5(400-z)+2z=2000.
Calculo passo a passo:
1200-4z+2000-5z+2z=2000.
Somando os termos constantes e os termos em z:
3200+(-4-5+2)z=2000,
3200-7z=2000.
Isolando z:
-7z=2000-3200=-1200,
z=\frac{1200}{7}.

Passo 6

Com z=\dfrac{1200}{7} volto para as expressões de x e y.
Para x:
x=300-z=300-\frac{1200}{7}=\frac{2100-1200}{7}=\frac{900}{7}.
Para y:
y=400-z=400-\frac{1200}{7}=\frac{2800-1200}{7}=\frac{1600}{7}.
Portanto os valores são:
x=\frac{900}{7},\qquad y=\frac{1600}{7},\qquad z=\frac{1200}{7}.

Passo 7

Checagem rápida (substituir de volta em pelo menos uma equação para garantir consistência). Vou verificar na primeira equação original com decimais (0{,}2x+0{,}1y+0{,}3z=100):
Calculo cada termo usando as frações:
0{,}2x = 0{,}2\cdot\frac{900}{7}=\frac{180}{7},
0{,}1y = 0{,}1\cdot\frac{1600}{7}=\frac{160}{7},
0{,}3z = 0{,}3\cdot\frac{1200}{7}=\frac{360}{7}.
Somando:
\frac{180}{7}+\frac{160}{7}+\frac{360}{7}=\frac{700}{7}=100,
confere com o lado direito. Isso dá confiança de que os valores estão corretos (podem ser verificados das mesmas formas nas outras equações).

Resposta

x=\dfrac{900}{7}
y=\dfrac{1600}{7}
z=\dfrac{1200}{7}

Exercícios relacionados