(20 Pontos) Determine uma equação cartesiana do plano que contém os pontos A=(2,1,-1), B=(1,0,-1) e C=(3,-2,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos
A=(2,1,-1), B=(1,0,-1), C=(3,-2,0)
O conteúdo que vamos usar é geometria analítica vetorial: basta obter um vetor normal ao plano e depois usar a forma
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

Passo 2

Primeiro calculamos dois vetores que ficam no plano, por exemplo
AB=B-A=(1-2,;0-1,;-1-(-1))=(-1,-1,0),
AC=C-A=(3-2,;-2-1,;0-(-1))=(1,-3,1)

Passo 3

O vetor normal n=(a,b,c) ao plano é dado pelo produto vetorial
n=ABtimesAC = i&j&k -1&-1&0 1&-3&1 =(-1,,1,,4)
Para simplificar, podemos usar n=(1,-1,-4), que é apenas -1 vezes o anterior.

Passo 4

Usamos a forma
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,
com (a,b,c)=(1,-1,-4) e (x0,y0,z0)=A=(2,1,-1). Então
1,(x-2)-1,(y-1)-4,(z+1)=0
implies x-2 -y+1 -4z -4 = 0
implies x - y -4z -5 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é
x - y - 4z - 5 = 0

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